Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial
l t y^prime prime+3 y=t y(-1)=1 y^prime(-1)=2
certamente possui uma única solução duas vezes diferenciável
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
0
0
-infty
-3
0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um problema de valor inicial (PVI) para uma equação diferencial de segunda ordem:
l t y'' + 3 y = t y(-1) = 1 y'(-1) = 2
O objetivo é determinar o maior intervalo no qual esse PVI tem uma solução única que seja duas vezes diferenciável. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre existência e unicidade de soluções para equações diferenciais, especialmente olhando para os pontos onde os coeficientes podem causar problemas.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação diferencial para a forma padrão. Queremos isolar $ y’’ $:
y''
Agora, nossa equação está na forma:
t y'' + 3 y = t Rightarrow y'' = t - 3 yt
Aqui, podemos ver que o coeficiente de $ y’’ $ é $ t $. Isso é importante porque, para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade (Teorema de Picard-Lindelöf), os coeficientes da equação diferencial devem ser contínuos no intervalo considerado.

Passo 3

O próximo passo é identificar onde os coeficientes da equação são contínuos. Na nossa equação $ y’’ = \frac{t - 3 y}{t} $, o denominador é $ t $. Isso significa que a função não está definida quando $ t = 0 $, pois dividir por zero não é possível. Portanto, $ t = 0 $ é um ponto problemático onde a equação perde continuidade.

Passo 4

Agora, vamos considerar o ponto inicial do nosso PVI, que é $ t = -1 $. Queremos encontrar o maior intervalo que contém $ t = -1 $ onde a solução é única e duas vezes diferenciável. Sabemos que a solução só vai existir e ser única enquanto a função $ \frac{1}{t} $ (que aparece na equação) for contínua.
Como $ t = 0 $ é onde a função não é contínua, o intervalo onde a solução existe e é única deve ser aquele que não inclui $ t = 0 $ e contém $ t = -1 $. Portanto, o intervalo vai de $ -\infty $ até $ 0 $.

Resposta

O maior intervalo onde o PVI possui uma única solução duas vezes diferenciável é $ -\infty < t < 0 $.

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