integral0^3 d x(a^2+x^2)^3 / 2, a>0

Passo 1

O problema pede para calcular a integral definida
integral0^3 dxl(a^2+x^2r)^3/2, a>0
O conteúdo aqui é técnicas de integrais de funções racionais em que aparece (a^2+x^2)^-3/2. Para resolver, vamos precisar encontrar uma primitiva dessa função.

Passo 2

Uma forma eficiente é usar a seguinte observação de derivadas: se definirmos
F(x)=xraiza^2+x^2,
então, usando a regra do quociente e a cadeia, obtemos
F'(x) =1cdotraiza^2+x^2-xcdottfracxraiza^2+x^2a^2+x^2 =a^2(a^2+x^2)^3/2
Portanto, temos
ddxl(xraiza^2+x^2r) =a^2(a^2+x^2)^3/2

Passo 3

Dessa igualdade segue que
1(a^2+x^2)^3/2 =1a^2ddxl(xraiza^2+x^2r)
Assim, a integral original torna-se
integral0^3dx(a^2+x^2)^3/2 =1a^2integral0^3ddxl(xraiza^2+x^2r)dx =1a^2l[xraiza^2+x^2r]0^3

Passo 4

Agora basta avaliar nos limites. Para x=3 temos
3raiza^2+9,
e para x=0 o termo é zero. Logo,
integral0^3dx(a^2+x^2)^3/2 =1a^2l(3raiza^2+9-0r) =3a^2raiza^2+9

Resposta

3a^2raiza^2+9

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