Calcule os limites, sabendo que eles existem e são números reais:
lim x infty raizx^2+x+1-x

Passo 1

O exercício pede para calcular o limite limxtoinfty l(raizx^2+x+1-xr). O conteúdo é de limites no infinito e trata de uma forma indeterminada do tipo infty - infty, então vamos usar a técnica de racionalização para resolver.

Passo 2

Para racionalizar, multiplicamos a expressão pelo conjugado de raizx^2+x+1-x:
raizx^2+x+1-x = (raizx^2+x+1-x)(raizx^2+x+1+x)raizx^2+x+1+x = x^2+x+1 - x^2raizx^2+x+1+x = x+1raizx^2+x+1+x

Passo 3

Agora dividimos numerador e denominador por x para poder tomar o limite:
x+1raizx^2+x+1+x = xl(1 + tfrac1xr)xl(raiz1 + tfrac1x + tfrac1x^2 + 1r) = 1 + tfrac1xraiz1 + tfrac1x + tfrac1x^2 + 1
Quando x to infty, temos 1/x to 0 e 1/x^2 to 0, logo o limite dessa expressão é tfrac1raiz1 + 1 = tfrac12.

Resposta

\tfrac{1}{2}

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