9-36 Calcule a integral.
integral x^2(3+4 x-4 x^2)^3 / 2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x^2l(3+4x-4x^2r)^3/2,dx. O conteúdo principal envolve técnicas de integração com substituição e transformações que levam a funções trigonométricas inversas, e vamos precisar completar o quadrado no denominador.

Passo 2

Observando o denominador, fazemos a identidade
3 + 4x - 4x^2 = 4l(1 - (x-tfrac12)^2r)
Dessa forma
l(3 + 4x - 4x^2r)^3/2 = 4^3/2l(1 - (x-tfrac12)^2r)^3/2 = 8,(1 - (x-tfrac12)^2)^3/2

Passo 3

Fazendo a substituição
t = x - tfrac12, x = t + tfrac12, dx = dt, x^2 = t^2 + t + tfrac14,
a integral se torna
integral x^2(3+4x-4x^2)^3/2,dx = integral t^2 + t + tfrac148,(1 - t^2)^3/2,dt

Passo 4

Para facilitar, separamos o numerador em três integrais:
integral t^2 + t + tfrac14(1 - t^2)^3/2,dt = integral t^2(1 - t^2)^3/2,dt + integral t(1 - t^2)^3/2,dt + tfrac14 integral 1(1 - t^2)^3/2,dt

Passo 5

Usamos as fórmulas conhecidas:
integral t(1 - t^2)^3/2,dt = 1raiz1 - t^2,
integral 1raiz1 - t^2,dt = arcsin(t),
integral 1(1 - t^2)^3/2,dt = traiz1 - t^2
Além disso,
t^2(1 - t^2)^3/2 = -1raiz1 - t^2 + 1(1 - t^2)^3/2

Passo 6

Integrando cada termo, somando as constantes e lembrando do fator 1/8, obtemos
integral t^2 + t + tfrac148,(1 - t^2)^3/2,dt = -18arcsin(t) + 932traiz1 - t^2 + C

Passo 7

Voltando à variável original t = x - tfrac12 e usando
traiz1 - t^2 = x - tfrac12tfrac12raiz3 + 4x - 4x^2 = 2x - 1raiz3 + 4x - 4x^2,
chegamos ao resultado final.

Resposta

-tfrac18,arcsinl(x-tfrac12r) + tfrac9(2x-1)32,raiz3+4x-4x^2 + C

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