Calcule a área da superfície esférica
que está no interior do cilindro
e acima do plano
.
Passo 1
O enunciado pede a área da parte da esfera de raio 3 dada por
que fica dentro do cilindro
e acima do plano
(ou seja,
). O conteúdo é cálculo de área de superfície esférica e vamos precisar parametrizar a esfera em coordenadas esféricas e projetar a condição do cilindro no plano
.
Passo 2
Primeiro, projetamos o cilindro no plano
. Em coordenadas polares
,
, a equação
vira
. Para
, temos
com
(pois
). Assim a projeção é
,
.
Agora usamos coordenadas esféricas na esfera de raio 3:
Agora usamos coordenadas esféricas na esfera de raio 3:
com
Passo 3
O elemento de área da esfera é
. Logo a área procurada é
Passo 4
Integramos em
:
Passo 5
então
Passo 6
Usando simetria e que
é par:
Passo 7
Portanto