Calcule a área da superfície esférica x^2+y^2+z^2=9 que está no interior do cilindro x^2+y^2=3 x e acima do plano x y.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte da esfera de raio 3 dada por x^2+y^2+z^2=9 que fica dentro do cilindro x^2+y^2=3x e acima do plano xy (ou seja, z>=0). O conteúdo é cálculo de área de superfície esférica e vamos precisar parametrizar a esfera em coordenadas esféricas e projetar a condição do cilindro no plano xy.

Passo 2

Primeiro, projetamos o cilindro no plano xy. Em coordenadas polares x=r,costheta, y=r,sintheta, a equação x^2+y^2=3x vira r^2=3rcostheta. Para r>0, temos r=3costheta com -tfracpi2<=theta<=tfracpi2 (pois costheta>=0). Assim a projeção é 0<= r<=3costheta, -tfracpi2<=theta<=tfracpi2.
Agora usamos coordenadas esféricas na esfera de raio 3:
x=3sinphicostheta, y=3sinphisintheta, z=3cosphi,
com 0<=phi<=tfracpi2 (para z>=0). Na projeção vale r=raizx^2+y^2=3sinphi, então a condição r<=3costheta vira
3sinphi<=3costhetaLongrightarrowsinphi<=costhetaLongrightarrow 0<=phi<=arcsin(costheta)

Passo 3

O elemento de área da esfera é dS=R^2sinphi,dphi,dtheta=9sinphi,dphi,dtheta. Logo a área procurada é
A=integraltheta=-pi/2^pi/2integralphi=0^arcsin(costheta)9sinphi,dphi,dtheta

Passo 4

Integramos em phi:
integral0^arcsin(costheta)sinphi,dphi=1-cosl(arcsin(costheta)r)=1-|sintheta|,

Passo 5

então
A=9integral-pi/2^pi/2l(1-|sintheta|r)dtheta

Passo 6

Usando simetria e que |sintheta| é par:
integral-pi/2^pi/2(1-|sintheta|)dtheta=2integral0^pi/2(1-sintheta)dtheta=2l[theta+costhetar]0^pi/2=2l(tfracpi2-1r)=pi-2

Passo 7

Portanto
A=9(pi-2)

Resposta

9(pi-2)

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