(b) Usando a série obtida acima, encontre a expressão de integral-1^1 1(2-x)^3 d x

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a integral integral-1^1 1(2 - x)^3,dx usando a expansão em série de (2 - x)^-3. O conteúdo aqui é integração termo a termo de uma série de potências, e vamos precisar da série obtida para (2 - x)^-3.

Passo 2

Para obter a série de (2 - x)^-3, escrevemos
1(2 - x)^3 = 12^3,1l(1 - x2r)^3
e aplicamos a fórmula do binômio de Newton para expoentes negativos:
l(1 - ur)^-3 = sumn=0^infty binomn+22,u^n, |u|<1

Passo 3

Substituindo u = tfracx2 e usando binomn+22 = tfrac(n+2)(n+1)2, obtemos
1(2 - x)^3 = 18 sumn=0^infty binomn+22 l(x2r)^n = sumn=0^infty (n+2)(n+1)16,2^n,x^n
Agora integramos termo a termo sobre [-1,1]:
integral-1^1 1(2 - x)^3,dx = sumn=0^infty (n+2)(n+1)16,2^n integral-1^1 x^n,dx

Passo 4

Sabendo que integral-1^1 x^n,dx=0 para n ímpar e tfrac2n+1 para n par, só sobraram os termos n=2k. Para n=2k:
(2k+2)(2k+1)16,2^2k cdot 22k+1 = 2(k+1)16,4^k = k+18,4^k = k+14^k+1
Logo a integral vira
sumk=0^infty k+14^k+1

Passo 5

Para somar esta série, usamos a soma conhecida
sumk=0^infty (k+1)x^k = 1(1 - x)^2, |x|<1
Tomando x=tfrac14, temos
sumk=0^infty k+14^k+1 = 14sumk=0^infty (k+1)l(tfrac14r)^k = 14 cdot 1l(1 - tfrac14r)^2 = 14 cdot 169 = 49

Resposta

49

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