36^circ) Determine a derivada direcional da função z=e^x cos y, no ponto (0,0) e na direção em que faz com o eixo dos x um ângulo de 60^circ.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional da função f(x,y)=e^xcos y no ponto (0,0) na direção que faz ângulo de 60^circ com o eixo x. Vamos usar que a derivada direcional é
Duf(x0,y0)=nabla f(x0,y0)cdot u,
onde u é o vetor unitário da direção desejada.

Passo 2

Calcular os parciais de f:
partial fpartial x(x,y)=e^xcos y, partial fpartial y(x,y)=-e^xsin y
Em (0,0) isso vira
partial fpartial x(0,0)=e^0cos0=1, partial fpartial y(0,0)=-e^0sin0=0
Logo nabla f(0,0)=(1,0).

Passo 3

O vetor unitário na direção de 60^circ é
u=(cos60^circ,sin60^circ)=l(tfrac12,tfracraiz32r)

Passo 4

Fazendo o produto escalar,
Duf(0,0)=nabla f(0,0)cdot u =1cdottfrac12+0cdottfracraiz32 =tfrac12

Resposta

tfrac12

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