(2.0) Determine os valores de a para que o limite lim (x, y) (0,0) x^2-y^2x^2+a y^2 exista.

Passo 1

O enunciado pede os valores de a para que
lim(x,y)to(0,0) x^2-y^2x^2+a,y^2
exista. O conteúdo é limites de funções de duas variáveis e teste de dependência de trajetória.

Passo 2

Para testar se o limite independe da trajetória, aproximamos por retas do tipo y=kx, com k constante.

Passo 3

Substituindo y=kx na expressão, obtemos
x^2-y^2x^2+a,y^2 =x^2-k^2x^2x^2+a,k^2x^2 =1-k^21+a,k^2,
que de fato não depende de x quando xto0.

Passo 4

Para que esse quociente seja o mesmo para todo k, deve existir L tal que
1-k^21+a,k^2=L forall k
Multiplicando em cruz:
1-k^2=L(1+a,k^2)=L+aL,k^2
Comparando coeficientes de termos independentes e de k^2:
1=L, -1=a,L
Logo L=1 e a=-1.

Passo 5

Quando a=-1, a função fica
x^2-y^2x^2-y^2=1
para todos os pontos do domínio (exceto onde o denominador zera), de modo que o limite é 1. Para qualquer outro a, o valor dependerá de k e, portanto, o limite não existe.

Resposta

a=-1

Exercícios relacionados