Encontre a solução geral das EDOs:
y^prime prime+9 pi^2 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
y'' + 9pi^2 y = 0
Esse é um caso de equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar a forma exponencial e a equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo
y = e^rx,
de onde
y' = r e^rx e y'' = r^2 e^rx
Substituindo em ,y'' + 9pi^2 y = 0, temos a equação característica
r^2 + 9pi^2 = 0

Passo 3

Resolvendo
r^2 + 9pi^2 = 0
obtemos
r = pm 3pi i
São raízes complexas conjugadas alpha pm beta i com alpha=0 e beta=3pi.

Passo 4

Para raízes complexas alpha pm beta i, a solução geral é
y(x) = C1 e^alpha xcos(beta x) + C2 e^alpha xsin(beta x)
Aqui alpha=0, então e^alpha x=1 e beta=3pi. Logo
y(x) = C1 cos(3pi x) + C2 sin(3pi x)

Resposta

y(x) = C1 cos(3pi x) + C2 sin(3pi x)

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