Find the vertices and foci of the ellipse and sketch its graph.
13. 4 x^2+y^2=16

Passo 1

O enunciado pede os vértices e os focos da elipse definida por
4x^2+y^2=16
e um esboço de seu gráfico. O conteúdo aqui é reconhecer a forma padrão da elipse, identificar seus semi-eixos e depois calcular a distância focal.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão, dividimos ambos os lados por 16:
4x^216+y^216=1
ou seja
x^24+y^216=1

Passo 3

Nessa forma padrão, os denominadores são b^2=4 e a^2=16. Como a^2>b^2, o eixo maior é vertical com
a = raiz16=4,
e o eixo menor é horizontal com
b = raiz4=2

Passo 4

Os vértices ficam nos extremos dos semi-eixos. Como o eixo maior é vertical:
vértices maiores: (0,pm a)=(0,pm4), é
e o eixo menor é horizontal:
vértices menores: (pm b,0)=(pm2,0) é

Passo 5

Para achar os focos, usamos
c^2=a^2-b^2=16-4=12,
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c=raiz12=2raiz3
Como o eixo maior é vertical, os focos são
(0,pm c)=(0,pm2raiz3)

Passo 6

O esboço da elipse é centrado na origem, com semi-eixo vertical de comprimento 4 (vértices em (0,pm4)) e semi-eixo horizontal de comprimento 2 (vértices em (pm2,0)), e focos em (0,pm2raiz3).

Resposta

Vértices: (0,pm4) e (pm2,0)
Focos: (0,pm2raiz3)

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