1.36 Determinar x, y, z e w, tais que:
\left(\begin{array}{cc} 3 x & 2 y \\\ z / 2 & 2 w-3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} x-1 & y^{2} \\\ z+2 & 13 \end{array}\right) .

Passo 1

O enunciado pede: determinar x,\;y,\;z e w tais que as duas matrizes são iguais:
\begin{pmatrix} 3x & 2y\\[4pt] z/2 & 2w-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-1 & y^{2}\\[4pt] z+2 & 13 \end{pmatrix}.
Informações dadas (entradas das matrizes):
  • entrada (1,1): 3x e x-1;
  • entrada (1,2): 2y e y^{2};
  • entrada (2,1): z/2 e z+2;
  • entrada (2,2): 2w-3 e 13.
O que se pede: encontrar todos os valores de x,\;y,\;z,\;w que tornam essas matrizes iguais.]

Passo 2

Princípio utilizado (a partir das informações acima): matrizes iguais têm entradas correspondentes iguais. Então obtemos o sistema de equações, igualando cada entrada correspondente:
\begin{aligned} 3x &= x-1,\\[4pt] 2y &= y^{2},\\[4pt] \frac{z}{2} &= z+2,\\[4pt] 2w-3 &= 13. \end{aligned}]

Passo 3

Resolver a equação para x:
3x = x-1.
Primeiro isolamos os termos com x: subtrai-se x de ambos os lados,
3x - x = -1,
ou seja
2x = -1.
Agora divide-se por 2 para obter x:
x = -\tfrac{1}{2}.
Comentário didático rápido: para resolver uma equação linear do tipo ax+b=c isolamos x movendo termos e dividindo por a.

Passo 4

Resolver a equação para y:
2y = y^{2}.
Passo padrão: levar todos os termos para um lado para obter uma equação polinomial:
y^{2} - 2y = 0.
Fatoramos por y (fator comum):
y(y-2)=0.
Pela propriedade do produto nulo, um dos fatores deve ser zero, logo
y=0\quad\text{ou}\quad y=2.
Comentário didático: sempre que uma equação se reduz a produto igual a zero, cada fator dá uma solução possível.

Passo 5

Resolver a equação para z:
\frac{z}{2} = z + 2.
Eliminar denominadores multiplicando ambos os lados por 2:
z = 2z + 4.
Reorganizar subtraindo 2z de ambos os lados:
z - 2z = 4 \quad\Rightarrow\quad -z = 4.
Portanto
z = -4.
Comentário didático: multiplicar por 2 remove o denominador e transforma numa equação linear usual.

Passo 6

Resolver a equação para w:
2w-3 = 13.
Isolar w: somar 3 em ambos os lados,
2w = 16,
e dividir por 2,
w = 8.

Passo 7

Verificação rápida das igualdades (substituir cada valor nas entradas correspondentes):
\begin{aligned} \text{(1,1): }&3x=3\!\cdot\!(-\tfrac{1}{2})=-\tfrac{3}{2},\quad x-1=-\tfrac{1}{2}-1=-\tfrac{3}{2},\\[4pt] \text{(1,2): }&\text{se }y=0:\;2y=0,\;y^{2}=0;\quad\text{se }y=2:\;2y=4,\;y^{2}=4,\\[4pt] \text{(2,1): }&\frac{z}{2}=\frac{-4}{2}=-2,\quad z+2=-4+2=-2,\\[4pt] \text{(2,2): }&2w-3=2\!\cdot\!8-3=16-3=13. \end{aligned}
Tudo confere, portanto as soluções encontradas estão corretas.]

Resposta

x=-\tfrac{1}{2}
y=0 ou y=2
z=-4
w=8

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