O enunciado dá duas matrizes-coluna (vetores) e pede para determinar X\) e \(Y\) que satisfazem o sistema:
\[A=\begin{pmatrix}1\\[4pt]5\\[4pt]-2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2\\[4pt]4\\[4pt]14\end{pmatrix},
e o sistema
\begin{cases} 2X+Y=A,\\[4pt] X-Y=B. \end{cases}
O que é pedido: encontrar explicitamente as matrizes (vetores) X\] e \(Y que tornam verdadeiras as duas equações simultaneamente. Informação relevante fornecida: os vetores A e B com suas componentes numéricas.]
Passo 2
Interpretação das operações com X e Y. Aqui X e Y são matrizes-coluna (vetores de três componentes). As operações que aparecem são:
soma de vetores: se U=(u_1,u_2,u_3)^T e V=(v_1,v_2,v_3)^T então U+V=(u_1+v_1,u_2+v_2,u_3+v_3)^T.
multiplicação por escalar: para escalar \lambda, \lambda U=(\lambda u_1,\lambda u_2,\lambda u_3)^T.
Podemos manipular as equações do sistema componente a componente ou usar álgebra vetorial diretamente (as regras são as mesmas).
Passo 3
Isolar uma incógnita a partir de uma das equações. A segunda equação é simples para isolar Y:
X-Y=B \quad\Longrightarrow\quad Y = X - B.
Aqui foi usada a operação inversa da adição: subtrai-se B de ambos os lados. Isso é válido componente a componente.
Passo 4
Substituir Y obtido no Passo 3 na primeira equação. A primeira equação é 2X+Y=A. Substituindo Y=X-B obtemos:
2X + (X - B) = A.
Agrupando os termos com X:
(2X + X) - B = A \quad\Longrightarrow\quad 3X - B = A.
Expliquei: somam-se os coeficientes escalares de X porque são múltiplos do mesmo vetor X.
Passo 5
Isolar X da equação do Passo 4:
3X - B = A \quad\Longrightarrow\quad 3X = A + B.
Agora dividimos ambos os lados por 3 (ou multiplicamos por 1/3), o que em vetores significa multiplicar cada componente por 1/3:
X = \tfrac{1}{3}(A+B).
Aqui a operação \tfrac{1}{3} é um escalar aplicado ao vetor A+B.
Passo 6
Calcular A+B componente a componente (peguei os componentes de A e B do enunciado):