1.37 Dadas as matrizes:
A=\left(\begin{array}{r} 1 \\\\ 5 \\\\ -2 \end{array}\right) \quad e \quad B=\left(\begin{array}{c} 2 \\\\ 4 \\\\ 14 \end{array}\right),
determinar matrizes X e Y que satisfaçam ao sistema linear:
\left\{\begin{array}{r} 2 X+Y=A \\\ X-Y=B \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes-coluna (vetores) e pede para determinar X\) e \(Y\) que satisfazem o sistema: \[A=\begin{pmatrix}1\\[4pt]5\\[4pt]-2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2\\[4pt]4\\[4pt]14\end{pmatrix},
e o sistema
\begin{cases} 2X+Y=A,\\[4pt] X-Y=B. \end{cases}
O que é pedido: encontrar explicitamente as matrizes (vetores) X\] e \(Y que tornam verdadeiras as duas equações simultaneamente. Informação relevante fornecida: os vetores A e B com suas componentes numéricas.]

Passo 2

Interpretação das operações com X e Y. Aqui X e Y são matrizes-coluna (vetores de três componentes). As operações que aparecem são:
  • soma de vetores: se U=(u_1,u_2,u_3)^T e V=(v_1,v_2,v_3)^T então U+V=(u_1+v_1,u_2+v_2,u_3+v_3)^T.
  • multiplicação por escalar: para escalar \lambda, \lambda U=(\lambda u_1,\lambda u_2,\lambda u_3)^T.
    Podemos manipular as equações do sistema componente a componente ou usar álgebra vetorial diretamente (as regras são as mesmas).

Passo 3

Isolar uma incógnita a partir de uma das equações. A segunda equação é simples para isolar Y:
X-Y=B \quad\Longrightarrow\quad Y = X - B.
Aqui foi usada a operação inversa da adição: subtrai-se B de ambos os lados. Isso é válido componente a componente.

Passo 4

Substituir Y obtido no Passo 3 na primeira equação. A primeira equação é 2X+Y=A. Substituindo Y=X-B obtemos:
2X + (X - B) = A.
Agrupando os termos com X:
(2X + X) - B = A \quad\Longrightarrow\quad 3X - B = A.
Expliquei: somam-se os coeficientes escalares de X porque são múltiplos do mesmo vetor X.

Passo 5

Isolar X da equação do Passo 4:
3X - B = A \quad\Longrightarrow\quad 3X = A + B.
Agora dividimos ambos os lados por 3 (ou multiplicamos por 1/3), o que em vetores significa multiplicar cada componente por 1/3:
X = \tfrac{1}{3}(A+B).
Aqui a operação \tfrac{1}{3} é um escalar aplicado ao vetor A+B.

Passo 6

Calcular A+B componente a componente (peguei os componentes de A e B do enunciado):
A+B = \begin{pmatrix}1\\[4pt]5\\[4pt]-2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2\\[4pt]4\\[4pt]14\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1+2\\[4pt]5+4\\[4pt]-2+14\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\[4pt]9\\[4pt]12\end{pmatrix}.
Agora aplicamos \tfrac{1}{3}:
X = \tfrac{1}{3}\begin{pmatrix}3\\[4pt]9\\[4pt]12\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]4\end{pmatrix}.]

Passo 7

Com X em mãos, voltamos à relação do Passo 3 para obter Y:
Y = X - B.
Calculamos componente a componente (peguei X do Passo 6 e B do enunciado):
Y = \begin{pmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2\\[4pt]4\\[4pt]14\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1-2\\[4pt]3-4\\[4pt]4-14\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]-1\\[4pt]-10\end{pmatrix}.]

Passo 8

Verificação rápida (confirmação): calcular 2X+Y e X-Y para checar se dão A e B.
2X+Y = 2\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1\\[4pt]-1\\[4pt]-10\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2-1\\[4pt]6-1\\[4pt]8-10\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]5\\[4pt]-2\end{pmatrix} = A,
X-Y = \begin{pmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1\\[4pt]-1\\[4pt]-10\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1+1\\[4pt]3+1\\[4pt]4+10\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\[4pt]4\\[4pt]14\end{pmatrix} = B.
As igualdades conferem, então os vetores encontrados estão corretos.]

Resposta

X=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]4\end{pmatrix}
Y=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-1\\[4pt]-10\end{pmatrix}]

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