Q 36 Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
integral 1x^2 raizx^2+9 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 1x^2raizx^2+9,dx
usando substituição trigonométrica. O conteúdo aqui é a técnica de substituir x por uma função de theta que torne a raiz numérica simples, e depois voltar para x.

Passo 2

Escolhemos a substituição adequada para raizx^2+9. Como aparece x^2+3^2, tomamos
x = 3tantheta, dx = 3sec^2theta,dtheta, raizx^2+9 = raiz9tan^2theta+9 = 3sectheta

Passo 3

Substituindo na integral,
integral 1x^2raizx^2+9,dx = integral 1(3tantheta)^2,(3sectheta),(3sec^2theta,dtheta)
Isso simplifica para
integral 3sec^2theta9tan^2thetacdot3sectheta,dtheta = integral sec^2theta9tan^2thetasectheta,dtheta = 19integral secthetatan^2theta,dtheta = 19integral costhetasin^2theta,dtheta

Passo 4

Fazemos a substituição u=sintheta, logo du=costheta,dtheta. A integral torna-se
19integral u^-2,du = 19l(-u^-1r)+C = -19,sintheta+C

Passo 5

Restituímos theta em termos de x. De x=3tantheta vem tantheta=tfracx3. Então
sintheta = tanthetasectheta = x/3raiz1+tan^2theta = x/3raiz1+(x/3)^2 = xraizx^2+9
Logo
-19,sintheta = -19cdotraizx^2+9x = -raizx^2+99x

Resposta

integral 1x^2raizx^2+9,dx = -raizx^2+99x + C

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