Exercício 6. Classifique as seguintes E.D.O., indique todos os possíveis métodos de resolução e resolva por um deles:
y^prime=yy-x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y'=yy-x
e pede (a) a classificação da E.D.O., (b) todos os métodos possíveis de resolução e (c) a resolução por um deles. Aqui reconhecemos que é uma E.D.O. de primeira ordem, não é linear na forma padrão y'+P(x)y=Q(x), mas a função do lado direito depende apenas de y e x de modo homogêneo (ou seja, é função de tfrac yx). Os métodos possíveis são:
  1. Substituição para equação homogênea y=vx.
  2. Inverter a derivada e resolver em x(y), obtendo uma equação linear em x.
  3. Verificar se é exata (não é diretamente exata) ou separável (também não é separável sem transformação).
    Vamos usar o método de equação homogênea.

Passo 2

Para aplicar o método homogêneo, definimos
v=yx,
logo y=vx. Então
y' = v + xdvdx
Substituindo na E.D.O.
v + xdvdx = yy-x = vxvx - x = vv-1

Passo 3

Isolamos o termo dv/dx:
xdvdx = vv-1 - v = v - v(v-1)v-1 = v(2 - v)v-1
Assim obtemos uma equação separável em v e x:
v-1v(2 - v),dv = dxx

Passo 4

Fazemos frações parciais em dfracv-1v(2-v): buscamos A,B tais que
v-1v(2-v) = Av + B2-v
Multiplicando por v(2-v)
v-1 = A(2-v) + Bv = 2A + v(B - A)
Igualando coeficientes:
B - A = 1, 2A = -1, Rightarrow A=-tfrac12,;B=tfrac12
Logo
v-1v(2-v) = -12,1v +12,12-v

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integrall(-tfrac121v + tfrac1212-vr)dv = integraldxx
No lado esquerdo
-tfrac12ln|v| + tfrac12l(-ln|2-v|r) = -tfrac12lnl|v(2-v)r|,
e no direito
integraldxx = ln|x| + C
Assim
-tfrac12lnl|v(2-v)r| = ln|x| + C ;Longrightarrow; lnl|v(2-v)r| = -2ln|x| + C1

Passo 6

Voltando a v=y/x, temos
v(2-v) = C2,x^-2 Longrightarrow yxl(2 - yxr) = C2x^2 ;Longrightarrow; y,(2x - y) = C,
onde C é constante arbitrária. Essa é a solução geral implícita. Em forma explícita, resolve-se a equação quadrática
y^2 - 2x,y + C = 0 Longrightarrow y = x pm raizx^2 - C

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
y,(2x - y) = C,
ou explicitamente
y = x pm raizx^2 - C

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