Questão 1. Resolva as equações diferenciais abaixo, reduzindo a uma equação de primeira ordem:
1+(y^prime)^2=2 y y^prime prime

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem que não depende de x:
1+(y')^2=2,y,y''
O objetivo é reduzir a ordem usando a substituição p(y)=y', pois x não aparece de forma explícita na equação.

Passo 2

Definindo
p(y)=dydx,
temos
y''=dpdx=dpdy,dydx=p,dpdy
Substituindo em 1+(y')^2=2,y,y'' obtemos
1+p^2=2,y;p,dpdy

Passo 3

Reescrevendo para separar variáveis, dividimos por p e por (1+p^2):
2,y,dpdy=1+p^2p Longrightarrow 2p1+p^2,dp=dyy

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral 2p1+p^2,dp =integral dyy Longrightarrow lnl(1+p^2r)=ln|y|+C1
Daí
1+p^2=C,y,
onde C=e^C1 é uma constante positiva arbitrária.

Passo 5

Voltando a p=y', temos
y'=pmraizC,y-1
Separamos de novo para integrar em x:
integraldyraizC,y-1=pmintegral dx Longrightarrow 2CraizC,y-1=pm x +C2

Passo 6

Elevando ao quadrado e resolvendo para y:
raizC,y-1=C2,(x+C2') Longrightarrow C,y-1=C^24(x+C2')^2
Longrightarrow y=C4,(x+C2')^2+1C
Renomeando constantes por alpha=tfracC4 e beta=C2', obtemos a forma geral
y(x)=alpha,(x+beta)^2+14alpha,
com alphaneq0 e beta constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=alpha,(x+beta)^2+14alpha,
onde alpha e beta são constantes de integração.

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