4.5H Se r=x i+y j+z k, r=|r| e f(t) é uma função real derivável, mostre que nabla f(r)= f^prime(r) rr e rot(f(r) r)=0. Encontre os inteiros k de modo que div(r^k r)=0. [resp. k=-3 ]

Passo 1

O enunciado pede para calcular três coisas em cálculo vetorial: o gradiente de uma função composta nabla f(r), o rotacional do campo !f(r),vec r e, por fim, encontrar os inteiros k tais que a divergência de r^kvec r seja nula. Vamos usar a regra da cadeia para gradiente, a identidade de produto escalar e vetorial para o rotacional e a definição de divergência componente a componente.

Passo 2

Para achar nabla f(r) usamos a regra da cadeia em coordenadas cartesiana. Como r=raizx^2+y^2+z^2, temos
nabla f(r)=f'(r),nabla r
Agora
partial rpartial x=xr, partial rpartial y=yr, partial rpartial z=zr,
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nabla r=gl(xr,yr,zrgr)=vec rr
Portanto
nabla f(r)=f'(r),vec rr

Passo 3

Para usamos a identidade
com e . Já vimos que . Além disso, pois é campo radial cujas componentes têm derivadas cruzadas iguais. Então

Passo 4

Para div(r^kvec r) escrevemos vec F=r^kvec r=(r^k x,r^k y,r^k z). Então
divvec F =partial (r^k x)partial x +partial (r^k y)partial y +partial (r^k z)partial z
Em cada termo, partial (r^k x)partial x =r^k + xcdot k,r^k-1,partial rpartial x =r^k + k,x^2,r^k-2. Somando os três termos dá
divvec F =3,r^k + k,r^k-2(x^2+y^2+z^2) =3,r^k + k,r^k-2,r^2 =(k+3),r^k
Para que essa divergência seja zero para todo r>0 precisamos de
k+3=0 Longrightarrow k=-3

Resposta

nabla f(r)=f'(r),vec rr,\newline
rotl(f(r),vec rr)=vec0,\newline
os inteiros k que tornam div(r^kvec r)=0 são k=-3.

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