4.5H Se
e
é uma função real derivável, mostre que
e
. Encontre os inteiros
de modo que
. [resp.
]
Passo 1
O enunciado pede para calcular três coisas em cálculo vetorial: o gradiente de uma função composta
, o rotacional do campo
e, por fim, encontrar os inteiros
tais que a divergência de
seja nula. Vamos usar a regra da cadeia para gradiente, a identidade de produto escalar e vetorial para o rotacional e a definição de divergência componente a componente.
Passo 2
Para achar
usamos a regra da cadeia em coordenadas cartesiana. Como
, temos
Agora
logo
Portanto
Passo 3
Para usamos a identidade
com
e
. Já vimos que
. Além disso, pois
é campo radial cujas componentes têm derivadas cruzadas iguais. Então
Passo 4
Para
escrevemos
. Então
Em cada termo,
. Somando os três termos dá
Para que essa divergência seja zero para todo
precisamos de
Resposta
os inteiros