37 Seja D: P3 P2 atransformação derivação D(p)=p^prime(x). Descreva o núcleo de D.
Seja J: P1 R a transformação integração J(p)=integral-1^1 p(x) d x. Descreva o núcleo de J.

Passo 1

O enunciado pede para descrever o núcleo (kernel) de duas transformações lineares definidas em espaços de polinômios. Para isso vamos usar a definição:
ker(T)=pmid T(p)=0, isto é, todos os polinômios que são levados ao polinômio zero (ou número zero, no caso de mapeamento em R) pela transformação T.

Passo 2

Para Dcolon P3to P2 temos
D(p)=p'(x)
Escrevendo um polinômio genérico p(x)=ax^3+bx^2+cx+d, sua derivada é
p'(x)=3ax^2+2bx+c
Para pinker(D) precisamos p'(x)=0 (o polinômio zero). Igualando coeficientes:
3a=0, 2b=0, c=0
de onde a=b=c=0. Logo p(x)=d, um polinômio constante.

Passo 3

Para Jcolon P1toR temos
J(p)=integral-1^1p(x),dx
Escrevendo p(x)=ax+b, calculemos
J(p)=integral-1^1(ax+b),dx =aintegral-1^1x,dx+bintegral-1^11,dx =acdot0 + bcdot2 =2b
Para pinker(J) queremos J(p)=0, ou seja 2b=0, o que dá b=0. Assim p(x)=ax.

Resposta

ker(D)=,p(x)=d : dinR
ker(J)=,p(x)=ax : ainR

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