37 Seja
atransformação derivação
. Descreva o núcleo de
.
Seja
a transformação integração
. Descreva o núcleo de
.
Seja
Passo 1
O enunciado pede para descrever o núcleo (kernel) de duas transformações lineares definidas em espaços de polinômios. Para isso vamos usar a definição:
, isto é, todos os polinômios que são levados ao polinômio zero (ou número zero, no caso de mapeamento em
) pela transformação
.
Passo 2
Para
temos
Escrevendo um polinômio genérico
, sua derivada é
Para
precisamos
(o polinômio zero). Igualando coeficientes:
de onde
. Logo
, um polinômio constante.
Passo 3
Para
temos
Escrevendo
, calculemos
Para
queremos
, ou seja
, o que dá
. Assim
.