36 (
). Um barco leva um tempo
para ir de um ponto A a um ponto B situado sobre a mesma margem de um rio, se deslocando no sentido contrário ao da corrente. Quando ele volta do ponto B ao ponto A, o barco gasta um tempo igual a
. A velocidade do barco em relação à água é constante possui módulo
. Calcule a distância AB .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
-
Dados:
- O tempo gasto para ir de A até B, contra a corrente, é
. - O tempo gasto para voltar de B até A, a favor da corrente, é
. - A velocidade do barco em relação à água (isto é, a “velocidade própria” do barco) é constante e tem módulo
. - A distância entre A e B é desconhecida; vamos chamá‑la de
. - A velocidade da corrente do rio é desconhecida; vamos chamá‑la de
.
- O tempo gasto para ir de A até B, contra a corrente, é
-
Pergunta:
- Calcular a distância
entre A e B em função de e .
- Calcular a distância
Passo 2
Vamos traduzir a situação para equações usando o conceito de velocidade relativa e a fórmula básica tempo = distância / velocidade.
-
Explicação do conceito (passo a passo, sem jargões): quando o barco se move na água, sua velocidade em relação ao solo (ou à margem) é a soma vetorial da sua velocidade relativa à água e da velocidade da corrente. Em módulo, se o barco vai contra a corrente, a velocidade efetiva reduz; se vai a favor, aumenta.
-
Portanto:
- Velocidade efetiva contra a corrente (indo de A para B):
. - Velocidade efetiva a favor da corrente (voltando de B para A):
.
- Velocidade efetiva contra a corrente (indo de A para B):
-
Usando a fórmula tempo = distância / velocidade:
- Para a ida (tempo
): - Para a volta (tempo
):
- Para a ida (tempo
Passo 3
Vamos manipular essas duas equações para eliminar
e encontrar
.
-
Da primeira equação obtemos
em termos de : -
Da segunda equação também obtemos
: -
Como ambas expressam a mesma
, igualamos: -
Podemos dividir ambos os lados por
(assumindo ):
Passo 4
Resolver a equação para
passo a passo:
-
Multiplicando ambos os lados por 2 para livrar do
: -
Desenvolvendo o lado esquerdo:
-
Reunindo termos com
de um lado e com do outro:
- Portanto:
Passo 5
Agora que encontramos
, voltamos a uma das expressões para
. Usamos a forma
:
-
Substituindo
: -
Calculando a diferença:
-
Logo:
-
Verificação rápida usando a outra fórmula:que bate com o resultado acima.
Passo 6
Interpretação e checagem numérica (ajuda a fixar): suponha
m/s e
s. Então
m/s e
m. Ida contra a corrente: velocidade efetiva
m/s, tempo
s (ok). Volta a favor: velocidade efetiva
m/s, tempo
s que é
(ok). Isso confirma que o raciocínio e os cálculos estão corretos.