36 ( 4{ }^{\text {a }} \mathrm{Ed} ). Um barco leva um tempo t para ir de um ponto A a um ponto B situado sobre a mesma margem de um rio, se deslocando no sentido contrário ao da corrente. Quando ele volta do ponto B ao ponto A, o barco gasta um tempo igual a t / 2. A velocidade do barco em relação à água é constante possui módulo v. Calcule a distância AB .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dados:
    • O tempo gasto para ir de A até B, contra a corrente, é t.
    • O tempo gasto para voltar de B até A, a favor da corrente, é t/2.
    • A velocidade do barco em relação à água (isto é, a “velocidade própria” do barco) é constante e tem módulo v.
    • A distância entre A e B é desconhecida; vamos chamá‑la de d.
    • A velocidade da corrente do rio é desconhecida; vamos chamá‑la de c.
  • Pergunta:
    • Calcular a distância d entre A e B em função de v e t.

Passo 2

Vamos traduzir a situação para equações usando o conceito de velocidade relativa e a fórmula básica tempo = distância / velocidade.
  • Explicação do conceito (passo a passo, sem jargões): quando o barco se move na água, sua velocidade em relação ao solo (ou à margem) é a soma vetorial da sua velocidade relativa à água e da velocidade da corrente. Em módulo, se o barco vai contra a corrente, a velocidade efetiva reduz; se vai a favor, aumenta.
  • Portanto:
    • Velocidade efetiva contra a corrente (indo de A para B): v - c.
    • Velocidade efetiva a favor da corrente (voltando de B para A): v + c.
  • Usando a fórmula tempo = distância / velocidade:
    • Para a ida (tempo t): t = \frac{d}{v - c}.
    • Para a volta (tempo t/2): \frac{t}{2} = \frac{d}{v + c}.

Passo 3

Vamos manipular essas duas equações para eliminar d e encontrar c.
  • Da primeira equação obtemos d em termos de c:
    d = t (v - c).
  • Da segunda equação também obtemos d:
    d = \frac{t}{2} (v + c).
  • Como ambas expressam a mesma d, igualamos:
    t (v - c) = \frac{t}{2} (v + c).
  • Podemos dividir ambos os lados por t (assumindo t\neq 0):
    v - c = \frac{1}{2}(v + c).

Passo 4

Resolver a equação para c passo a passo:
  • Multiplicando ambos os lados por 2 para livrar do \tfrac{1}{2}:
    2(v - c) = v + c.
  • Desenvolvendo o lado esquerdo:
    2v - 2c = v + c.
  • Reunindo termos com c de um lado e com v do outro:
    2v - v = 2c + c.
v = 3c.
  • Portanto: c = \frac{v}{3}.

Passo 5

Agora que encontramos c, voltamos a uma das expressões para d. Usamos a forma d = t(v - c):
  • Substituindo c = \dfrac{v}{3}:
    d = t\Big(v - \frac{v}{3}\Big).
  • Calculando a diferença:
    v - \frac{v}{3} = \frac{3v - v}{3} = \frac{2v}{3}.
  • Logo:
    d = t \cdot \frac{2v}{3} = \frac{2}{3} v t.
  • Verificação rápida usando a outra fórmula:
    d = \frac{t}{2}\Big(v + \frac{v}{3}\Big) = \frac{t}{2}\cdot\frac{4v}{3} = \frac{2}{3} v t,
    que bate com o resultado acima.

Passo 6

Interpretação e checagem numérica (ajuda a fixar): suponha v=3 m/s e t=3 s. Então c=v/3=1 m/s e d=(2/3)vt=(2/3)\cdot3\cdot3=6 m. Ida contra a corrente: velocidade efetiva 3-1=2 m/s, tempo 6/2=3 s (ok). Volta a favor: velocidade efetiva 3+1=4 m/s, tempo 6/4=1{,}5 s que é t/2 (ok). Isso confirma que o raciocínio e os cálculos estão corretos.

Resposta

\dfrac{2}{3} v t

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