Uma roda-gigante possui um raio R e completa cinco voltas em tomo do seu eixo horizontal por minuto. (a) Qual é o período do movimento? Qual é a aceleração centrípeta de um passageiro no (b) ponto mais alto e (c) ponto mais baixo, supondo que o passageiro esteja em um raio R ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Informações dadas:
    • O raio da roda‑gigante é \,R\,.
    • A roda completa \,5\, voltas em torno do seu eixo horizontal por minuto.
    • O passageiro está na borda da roda, a uma distância \,R\, do centro.
  • Perguntas do enunciado:
    • (a) Qual é o período do movimento?
    • (b) Qual é a aceleração centrípeta de um passageiro no ponto mais alto?
    • (c) Qual é a aceleração centrípeta de um passageiro no ponto mais baixo?

Passo 2

Primeiro vamos transformar a taxa de voltas por minuto em frequência (voltas por segundo) e depois obter o período.
  • A frequência \,f\, (voltas por segundo) é a quantidade de voltas por unidade de tempo. Temos \,5\, voltas por minuto, ou seja:
f = \frac{5\\ \text{voltas}}{1\\ \text{minuto}} = \frac{5}{60}\\ \text{voltas/s} = \frac{1}{12}\\ \text{s}^{-1}.
Aqui expliquei: converti minutos para segundos dividindo por 60.
  • O período \,T\, é o tempo para uma volta completa e é o inverso da frequência:
T = \frac{1}{f}.
Substituindo f=\dfrac{1}{12}\\ \text{s}^{-1},
T = \frac{1}{1/12} = 12\\ \text{s}.
Portanto o período é 12 segundos.

Passo 3

Agora vamos relacionar a velocidade angular com a frequência e obter a velocidade linear do passageiro.
  • A velocidade angular \,\omega\, (em rad/s) está relacionada à frequência por
\omega = 2\pi f.
Aqui \omega é o ângulo varrido por unidade de tempo, 2\pi rad corresponde a uma volta completa, e f é o número de voltas por segundo.
  • Substituindo f=\dfrac{1}{12},
\omega = 2\pi\cdot\frac{1}{12} = \frac{\pi}{6}\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Explico a fórmula da aceleração centrípeta e como aplicá‑la.
  • Para um movimento circular uniforme, a aceleração centrípeta (aquela que aponta para o centro e mantém o corpo descrevendo a circunferência) tem magnitude dada por duas fórmulas equivalentes:
a_c = \frac{v^2}{R}\quad\text{ou}\quad a_c = \omega^2 R,
onde:
  • \,a_c\, é a magnitude da aceleração centrípeta (unidade \text{m/s}^2),
  • \,v\, é a velocidade tangencial linear (unidade \text{m/s}),
  • \,\omega\, é a velocidade angular (unidade \text{rad/s}),
  • \,R\, é o raio da trajetória (unidade \text{m}).
  • Podemos usar a forma \,a_c=\omega^2 R\, porque já temos \omega.

Passo 5

Calculemos a aceleração centrípeta em termos de \,R\,.
  • Substituindo \omega=\dfrac{\pi}{6} em \,a_c=\omega^2 R,
a_c = \left(\frac{\pi}{6}\right)^2 R = \frac{\pi^2}{36}\,R.
  • Para ter uma ideia numérica, note que \pi^2\approx 9,8696, então
\frac{\pi^2}{36}\approx 0,2742,
logo
a_c \approx 0,2742\,R.
(Isto quer dizer: se R estiver em metros, a_c estará em \text{m/s}^2.)

Passo 6

Interpretação física no ponto mais alto e no ponto mais baixo.
  • A aceleração centrípeta tem sempre direção radial, apontando para o centro da roda. Portanto:
    • No ponto mais alto, a aceleração centrípeta tem magnitude a_c=\dfrac{\pi^2}{36}R e aponta para baixo (ou seja, em direção ao centro).
    • No ponto mais baixo, a aceleração centrípeta tem a mesma magnitude a_c=\dfrac{\pi^2}{36}R e aponta para cima (também em direção ao centro).
  • Em termos práticos: a magnitude é a mesma nos dois pontos; só muda a direção (para o centro).

Resposta

(a) T = 12\\ \text{s}
(b) a_c = \dfrac{\pi^2}{36}\,R (direção: para baixo, em direção ao centro)
(c) a_c = \dfrac{\pi^2}{36}\,R (direção: para cima, em direção ao centro)

Exercícios relacionados