Uma roda-gigante possui um raio
e completa cinco voltas em tomo do seu eixo horizontal por minuto. (a) Qual é o período do movimento? Qual é a aceleração centrípeta de um passageiro no (b) ponto mais alto e (c) ponto mais baixo, supondo que o passageiro esteja em um raio
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
-
Informações dadas:
- O raio da roda‑gigante é
. - A roda completa
voltas em torno do seu eixo horizontal por minuto. - O passageiro está na borda da roda, a uma distância
do centro.
- O raio da roda‑gigante é
-
Perguntas do enunciado:
- (a) Qual é o período do movimento?
- (b) Qual é a aceleração centrípeta de um passageiro no ponto mais alto?
- (c) Qual é a aceleração centrípeta de um passageiro no ponto mais baixo?
Passo 2
Primeiro vamos transformar a taxa de voltas por minuto em frequência (voltas por segundo) e depois obter o período.
- A frequência
(voltas por segundo) é a quantidade de voltas por unidade de tempo. Temos voltas por minuto, ou seja:
Aqui expliquei: converti minutos para segundos dividindo por
.
- O período
é o tempo para uma volta completa e é o inverso da frequência:
Substituindo
,
Portanto o período é
segundos.
Passo 3
Agora vamos relacionar a velocidade angular com a frequência e obter a velocidade linear do passageiro.
- A velocidade angular
(em rad/s) está relacionada à frequência por
Aqui
é o ângulo varrido por unidade de tempo,
rad corresponde a uma volta completa, e
é o número de voltas por segundo.
- Substituindo
,
Passo 4
Explico a fórmula da aceleração centrípeta e como aplicá‑la.
- Para um movimento circular uniforme, a aceleração centrípeta (aquela que aponta para o centro e mantém o corpo descrevendo a circunferência) tem magnitude dada por duas fórmulas equivalentes:
onde:
-
é a magnitude da aceleração centrípeta (unidade ), -
é a velocidade tangencial linear (unidade ), -
é a velocidade angular (unidade ), -
é o raio da trajetória (unidade ). -
Podemos usar a forma
porque já temos .
Passo 5
Calculemos a aceleração centrípeta em termos de
.
- Substituindo
em ,
- Para ter uma ideia numérica, note que
, então
logo
(Isto quer dizer: se
estiver em metros,
estará em
.)
Passo 6
Interpretação física no ponto mais alto e no ponto mais baixo.
- A aceleração centrípeta tem sempre direção radial, apontando para o centro da roda. Portanto:
- No ponto mais alto, a aceleração centrípeta tem magnitude
e aponta para baixo (ou seja, em direção ao centro). - No ponto mais baixo, a aceleração centrípeta tem a mesma magnitude
e aponta para cima (também em direção ao centro).
- No ponto mais alto, a aceleração centrípeta tem magnitude
- Em termos práticos: a magnitude é a mesma nos dois pontos; só muda a direção (para o centro).
Resposta
(a)
(b)
(direção: para baixo, em direção ao centro)
(c)
(direção: para cima, em direção ao centro)