1. Considere \mathrm{C}_{1}=10 \mu \mathrm{~F} ; \mathrm{C}_{2}=5 \mu \mathrm{~F} ; \mathrm{C}_{3}=20 \mu \mathrm{~F}; e \mathrm{Q}_{2}=0,002 \mathrm{C}. Determinar a) \left.\mathrm{Q}_{1}, \mathrm{Q}_{3}, \mathrm{Q}_{\text {total }} ; \mathrm{b}\right) \mathrm{V}_{1}, \mathrm{~V}_{2}, \mathrm{~V}_{3}, \mathrm{~V}_{\text {totala }}; c) \mathrm{C}_{\mathrm{eq}}.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede o que listamos abaixo:
  • Dados: C_1=10\\ \mu\mathrm{F}; C_2=5\\ \mu\mathrm{F}; C_3=20\\ \mu\mathrm{F}; e Q_2=0{,}002\\ \mathrm{C}.
  • Perguntas:
    a) Determinar Q_1, Q_3, Q_{\text{total}}.
    b) Determinar V_1, V_2, V_3, V_{\text{total}}.
    c) Determinar C_{\text{eq}}.
Observação sobre o circuito (informação extraída da figura): os três capacitores estão conectados em série formando um único caminho entre os terminais da fonte. Portanto os valores C_1,C_2,C_3 e Q_2 acima são os dados relevantes para resolver as perguntas.

Passo 2

Propriedade importante para capacitores em série (aula rápida, sem pular etapas):
  • Quando capacitores estão em série, a mesma carga (em módulo) aparece em cada capacitor. Isso acontece porque não há caminho para carga escapar nos nós intermediários; a carga que aparece numa placa interna deve ser compensada na placa adjacente, impondo que todas as cargas de cada capacitor tenham o mesmo valor em módulo. Em símbolos: Q_1=Q_2=Q_3=Q_{\text{serie}}.
  • A tensão num capacitor é dada por V=\dfrac{Q}{C}. Aqui Q é a carga no capacitor e C sua capacitância. Cada capacitor tem sua queda de tensão, e a tensão total entre os terminais é a soma das quedas: V_{\text{total}}=V_1+V_2+V_3.
Aplicando isso ao problema: como o enunciado já dá Q_2=0{,}002\\ \mathrm{C} e os capacitores estão em série, concluímos que Q_1 e Q_3 têm o mesmo valor em módulo que Q_2. Também o Q_{\text{total}} (a carga associada ao equivalente em série) tem o mesmo valor.

Passo 3

Calcular as cargas pedidas (uso direto da propriedade de série):
Q_1=Q_2=Q_3=0{,}002\\ \mathrm{C}.
Logo
Q_{\text{total}}=0{,}002\\ \mathrm{C}.

Passo 4

Calcular as tensões usando V=\dfrac{Q}{C}. Aqui convertemos capacitâncias para Farads via 1\\ \mu\mathrm{F}=10^{-6}\\ \mathrm{F}.
Cálculo de V_1:
V_1=\frac{Q_1}{C_1}=\frac{0{,}002}{10\times10^{-6}}=\frac{0{,}002}{10^{-5}}=200\\ \mathrm{V}.
Cálculo de V_2:
V_2=\frac{Q_2}{C_2}=\frac{0{,}002}{5\times10^{-6}}=\frac{0{,}002}{5\cdot10^{-6}}=400\\ \mathrm{V}.
Cálculo de V_3:
V_3=\frac{Q_3}{C_3}=\frac{0{,}002}{20\times10^{-6}}=\frac{0{,}002}{2\cdot10^{-5}}=100\\ \mathrm{V}.
Tensão total (soma das quedas):
V_{\text{total}}=V_1+V_2+V_3=200+400+100=700\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Calcular a capacitância equivalente C_{\text{eq}} para capacitores em série. Fórmula (aula curta sobre série):
  • Para capacitores em série vale \frac{1}{C_{\text{eq}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_3}.
Usamos C em \mu\mathrm{F} primeiro para facilitar a conta:
\frac{1}{C_{\text{eq}}}=\frac{1}{10}+\frac{1}{5}+\frac{1}{20}=0{,}1+0{,}2+0{,}05=0{,}35\quad(\mu\mathrm{F}^{-1}).
Portanto
C_{\text{eq}}=\frac{1}{0{,}35}=\frac{20}{7}\\ \mu\mathrm{F}\approx2{,}857\\ \mu\mathrm{F}.
Em Farads:
C_{\text{eq}}\approx2{,}857\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.

Resposta

a) Q_1=0{,}002\\ \mathrm{C},\; Q_3=0{,}002\\ \mathrm{C},\; Q_{\text{total}}=0{,}002\\ \mathrm{C}
b) V_1=200\\ \mathrm{V},\; V_2=400\\ \mathrm{V},\; V_3=100\\ \mathrm{V},\; V_{\text{total}}=700\\ \mathrm{V}
c) C_{\text{eq}}=\dfrac{20}{7}\\ \mu\mathrm{F}\approx2{,}857\\ \mu\mathrm{F}=2{,}857\times10^{-6}\\ \mathrm{F}

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