O vetor
é paralelo ao semieixo y negativo e o vetor
é paralelo ao semieixo x positivo. Determine a orientação do vetor
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a orientação do vetor
.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
é paralelo ao semieixo negativo (ou seja, aponta para baixo). -
é paralelo ao semieixo positivo (ou seja, aponta para a direita).
Passo 2
Vamos representar os vetores no sistema cartesiano usando vetores unitários. Chamo de
o vetor unitário no sentido positivo de
, de
o vetor unitário no sentido positivo de
e de
o vetor unitário no sentido positivo de
. Como os sentidos são dados sem magnitudes, escrevo
Aqui
e
são apenas comprimentos positivos (escolhidos para indicar magnitude). O sinal menos em
mostra que ele aponta no sentido negativo de
.
Passo 3
Rápida revisão do produto vetorial (cross product), porque ele é a ferramenta que precisamos:
- O produto vetorial
resulta em um vetor perpendicular tanto a quanto a . - A magnitude é
, onde é o ângulo entre e . - A direção (sentido) é dada pela regra da mão direita: aponte o dedo indicador na direção de
, o dedo médio na direção de ; o polegar indica o sentido de . - Identidades úteis das bases:
e o produto vetorial é anticomutativo:
.
Passo 4
Agora calculemos
usando as representações do Passo 2:
Usando
(identidade das bases), obtemos
Passo 5
Interpretação do resultado:
é um vetor paralelo ao eixo
e aponta no sentido negativo de
(porque o coeficiente é negativo). Em termos geométricos, isso significa que
está orientado para o semieixo
negativo — equivalente a “para dentro da página” se o plano
estiver na página.
Verificação rápida pela regra da mão direita (intuitiva): aponte o indicador para
(para a direita), o médio para
(para baixo); o polegar ficará apontando para dentro da página, ou seja, no sentido negativo de
. Isso confirma o cálculo algébrico.