O vetor \vec{d}_{1} é paralelo ao semieixo y negativo e o vetor \vec{d}_{2} é paralelo ao semieixo x positivo. Determine a orientação do vetor \vec{d}_{2} \times \vec{d}_{1}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a orientação do vetor \vec{d}_{2}\times\vec{d}_{1}.
Informações dadas:
  • \vec{d}_{1} é paralelo ao semieixo y negativo (ou seja, aponta para baixo).
  • \vec{d}_{2} é paralelo ao semieixo x positivo (ou seja, aponta para a direita).

Passo 2

Vamos representar os vetores no sistema cartesiano usando vetores unitários. Chamo de \hat{\imath} o vetor unitário no sentido positivo de x, de \hat{\jmath} o vetor unitário no sentido positivo de y e de \hat{k} o vetor unitário no sentido positivo de z. Como os sentidos são dados sem magnitudes, escrevo
\vec{d}_{2}=b\,\hat{\imath},\qquad b>0
\vec{d}_{1}=-a\,\hat{\jmath},\qquad a>0
Aqui a e b são apenas comprimentos positivos (escolhidos para indicar magnitude). O sinal menos em \vec{d}_{1} mostra que ele aponta no sentido negativo de y.

Passo 3

Rápida revisão do produto vetorial (cross product), porque ele é a ferramenta que precisamos:
  • O produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} resulta em um vetor perpendicular tanto a \vec{u} quanto a \vec{v}.
  • A magnitude é \|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}.
  • A direção (sentido) é dada pela regra da mão direita: aponte o dedo indicador na direção de \vec{u}, o dedo médio na direção de \vec{v}; o polegar indica o sentido de \vec{u}\times\vec{v}.
  • Identidades úteis das bases:
\hat{\imath}\times\hat{\jmath}=\hat{k},\quad \hat{\jmath}\times\hat{k}=\hat{\imath},\quad \hat{k}\times\hat{\imath}=\hat{\jmath}
e o produto vetorial é anticomutativo: \vec{u}\times\vec{v}=-(\vec{v}\times\vec{u}).

Passo 4

Agora calculemos \vec{d}_{2}\times\vec{d}_{1} usando as representações do Passo 2:
\vec{d}_{2}\times\vec{d}_{1}=(b\,\hat{\imath})\times(-a\,\hat{\jmath})=-ab\;(\hat{\imath}\times\hat{\jmath}).
Usando \hat{\imath}\times\hat{\jmath}=\hat{k} (identidade das bases), obtemos
\vec{d}_{2}\times\vec{d}_{1}=-ab\,\hat{k}.

Passo 5

Interpretação do resultado: -ab\,\hat{k} é um vetor paralelo ao eixo z e aponta no sentido negativo de z (porque o coeficiente é negativo). Em termos geométricos, isso significa que \vec{d}_{2}\times\vec{d}_{1} está orientado para o semieixo z negativo — equivalente a “para dentro da página” se o plano xy estiver na página.
Verificação rápida pela regra da mão direita (intuitiva): aponte o indicador para \vec{d}_{2} (para a direita), o médio para \vec{d}_{1} (para baixo); o polegar ficará apontando para dentro da página, ou seja, no sentido negativo de z. Isso confirma o cálculo algébrico.

Resposta

\text{paralelo ao semieixo }z\text{ negativo (sentido }-\,\hat{k}\text{)}

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