f(t)=sech^2(e^t)
37. f(t)=sech^2(e^t)=[sech(e^t)]^2 Rightarrow f^prime(t)=2[sech(e^t)][sech(e^t)]^prime=2 sech(e^t)[-sech(e^t) tanh (e^t) cdot e^t]=-2 e^t sech^2(e^t) tanh (e^t)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(t)=sech^2l(e^tr). O conteúdo usado aqui é a regra da cadeia e a derivada de sech(u), que satisfaz
ddul[sech(u)r]=-,sech(u),tanh(u)

Passo 2

Reescrevemos
f(t)=l[sechl(e^tr)r]^2
Assim vemos uma função externa g(v)=v^2 aplicada a v=sechl(e^tr).

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para o quadrado, obtemos
f'(t)=2,sechl(e^tr),ddtl[sechl(e^tr)r]

Passo 4

Dentro desse último termo usamos a derivada de sech(u) com u=e^t:
ddtl[sechl(e^tr)r] =ddul[sech(u)r]|u=e^tcdotddtl(e^tr) =-sechl(e^tr),tanhl(e^tr)cdot e^t

Passo 5

Substituindo em f'(t) e agrupando fatores, resulta
f'(t) =2,sechl(e^tr),l[-sechl(e^tr),tanhl(e^tr),e^tr] =-2,e^t,sech^2l(e^tr),tanhl(e^tr)

Resposta

f'(t)=-2,e^t,sech^2l(e^tr),tanhl(e^tr)

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