Dadas as primitivas das curvas f(x, y, c)=0, determine a equação diferencial de primeira ordem para cada familia de curvas integrais:
(x-a)^2+(y-a)^2=2 a^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma família de curvas definidas pela equação (x - a)^2 + (y - a)^2 = 2a^2. Nosso objetivo é determinar a equação diferencial de primeira ordem que representa essa família de curvas. Estamos trabalhando com Equações Diferenciais e famílias de curvas parametizadas por uma constante. Para resolver, vamos precisar diferenciar a equação dada em relação a x e eliminar o parâmetro a para obter uma relação que envolva apenas x, y e dydx.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar a equação dada:
(x - a)^2 + (y - a)^2 = 2a^2
Aqui, a é o parâmetro que define cada curva específica da família.

Passo 3

Para encontrar a equação diferencial, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Aplicamos a regra da cadeia na diferenciação:
ddx[(x - a)^2] + ddx[(y - a)^2] = ddx[2a^2]
Isso resulta em:
2(x - a)cdot ddx(x - a) + 2(y - a)cdot ddx(y - a) = 0
Como a é uma constante, ddx(x - a) = 1 e ddx(y - a) = dydx:
2(x - a) + 2(y - a)dydx = 0

Passo 4

Agora, vamos isolar dydx:
2(y - a)dydx = -2(x - a)
Dividindo ambos os lados por 2(y - a):
dydx = -(x - a)y - a

Passo 5

Nosso próximo passo é eliminar o parâmetro a. Para isso, vamos expressar a em termos de x e y a partir da equação original. Começamos expandindo a equação:
(x - a)^2 + (y - a)^2 = 2a^2
Desenvolvendo os quadrados:
x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2ay + a^2 = 2a^2
Simplificando:
x^2 + y^2 - 2a(x + y) + 2a^2 = 2a^2
Subtraindo 2a^2 de ambos os lados:
x^2 + y^2 - 2a(x + y) = 0
Agora, isolamos a:
2a(x + y) = x^2 + y^2
a = x^2 + y^22(x + y)

Passo 6

Agora, substituímos o valor de a encontrado na expressão para dydx:
dydx = -(x - a)y - a = -(x - x^2 + y^22(x + y))y - x^2 + y^22(x + y)
Vamos simplificar o numerador e o denominador:
Para o numerador:
x - x^2 + y^22(x + y) = 2x(x + y) - (x^2 + y^2)2(x + y) = 2x^2 + 2xy - x^2 - y^22(x + y) = x^2 + 2xy - y^22(x + y)
Para o denominador:
y - x^2 + y^22(x + y) = 2y(x + y) - (x^2 + y^2)2(x + y) = 2xy + 2y^2 - x^2 - y^22(x + y) = -x^2 + 2xy + y^22(x + y)
Portanto, a expressão para dydx fica:
dydx = - ( x^2 + 2xy - y^22(x + y) ) -x^2 + 2xy + y^22(x + y) = - (x^2 + 2xy - y^2) -x^2 + 2xy + y^2 = x^2 + 2xy - y^2x^2 - 2xy - y^2

Resposta

A equação diferencial de primeira ordem para a família de curvas (x - a)^2 + (y - a)^2 = 2a^2 é:
dydx = x^2 + 2xy - y^2x^2 - 2xy - y^2

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