Dadas as primitivas das curvas
, determine a equação diferencial de primeira ordem para cada familia de curvas integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma família de curvas definidas pela equação
. Nosso objetivo é determinar a equação diferencial de primeira ordem que representa essa família de curvas. Estamos trabalhando com Equações Diferenciais e famílias de curvas parametizadas por uma constante. Para resolver, vamos precisar diferenciar a equação dada em relação a
e eliminar o parâmetro
para obter uma relação que envolva apenas
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar a equação dada:
Aqui,
é o parâmetro que define cada curva específica da família.
Passo 3
Para encontrar a equação diferencial, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Aplicamos a regra da cadeia na diferenciação:
Isso resulta em:
Como
é uma constante,
e
:
Passo 4
Agora, vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Nosso próximo passo é eliminar o parâmetro
. Para isso, vamos expressar
em termos de
e
a partir da equação original. Começamos expandindo a equação:
Desenvolvendo os quadrados:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Agora, isolamos
:
Passo 6
Agora, substituímos o valor de
encontrado na expressão para
:
Vamos simplificar o numerador e o denominador:
Para o numerador:
Para o denominador:
Portanto, a expressão para
fica:
Resposta
A equação diferencial de primeira ordem para a família de curvas
é: