Dadas as primitivas das curvas
, determine a equação diferencial de primeira ordem para cada familia de curvas integrais:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma família de curvas definida pela equação
, onde
é uma constante. A tarefa é encontrar a equação diferencial de primeira ordem que descreve todas essas curvas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas e manipulação de equações. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial de primeira ordem. Básicamente, é uma equação que relaciona uma função
com sua primeira derivada
. Nosso objetivo é expressar essa relação sem a constante
.
Passo 3
O próximo passo é diferenciar a equação original em relação a
. Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação
em relação a
.
Vamos lá:
Diferenciando termo a termo:
Passo 4
Agora, precisamos eliminar a constante
para obter a equação diferencial desejada. Observamos que a equação original pode ser rearranjada para expressar
em função de
e
.
Da equação original:
Passo 5
Vamos substituir o valor de
que encontramos na equação diferenciada:
Multiplicando tudo por
para eliminar o denominador:
Simplificando os termos:
Passo 6
Agora, vamos isolar
para deixar a equação na forma padrão da equação diferencial de primeira ordem.
Rearranjando:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A equação diferencial de primeira ordem para a família de curvas
é: