Dadas as primitivas das curvas f(x, y, c)=0, determine a equação diferencial de primeira ordem para cada familia de curvas integrais:
x^2+y^2+c x=0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma família de curvas definida pela equação x^2 + y^2 + c x = 0 , onde c é uma constante. A tarefa é encontrar a equação diferencial de primeira ordem que descreve todas essas curvas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas e manipulação de equações. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial de primeira ordem. Básicamente, é uma equação que relaciona uma função y(x) com sua primeira derivada dydx . Nosso objetivo é expressar essa relação sem a constante c .

Passo 3

O próximo passo é diferenciar a equação original em relação a x . Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação x^2 + y^2 + c x = 0 em relação a x .
Vamos lá:
ddx(x^2 + y^2 + c x) = ddx(0)
Diferenciando termo a termo:
2x + 2y dydx + c = 0

Passo 4

Agora, precisamos eliminar a constante c para obter a equação diferencial desejada. Observamos que a equação original pode ser rearranjada para expressar c em função de x e y .
Da equação original:
x^2 + y^2 + c x = 0 implies c = -x^2 + y^2x

Passo 5

Vamos substituir o valor de c que encontramos na equação diferenciada:
2x + 2y dydx + (-x^2 + y^2x) = 0
Multiplicando tudo por x para eliminar o denominador:
2x^2 + 2x y dydx - x^2 - y^2 = 0
Simplificando os termos:
x^2 + 2x y dydx - y^2 = 0

Passo 6

Agora, vamos isolar dydx para deixar a equação na forma padrão da equação diferencial de primeira ordem.
Rearranjando:
2x y dydx = y^2 - x^2
Dividindo ambos os lados por 2x y :
dydx = y^2 - x^22x y

Resposta

A equação diferencial de primeira ordem para a família de curvas x^2 + y^2 + c x = 0 é:
dydx = y^2 - x^22x y

Exercícios relacionados