37.12E Um gás de hélio (gás monoatômico) com massa de 10 g expande-se adiabaticamente realizando um trabalho de 500 J .
Qual é a alteração em sua temperatura? Sugestão: utilize o resultado do Problema 37.9.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
Dados fornecidos:
  • Gás: hélio monoatômico.
  • Massa do gás: m=10\\ \text{g}.
  • Processo: expande-se adiabaticamente realizando trabalho 500\\ \text{J} (isto é, o gás realiza trabalho W=+500\\ \text{J}).
  • Constantes que serão usadas: massa molar do hélio M_{\mathrm{He}}=4{,}00\\ \text{g}\!/\!\text{mol} e constante universal dos gases R=8{,}314\\ \text{J}\!/\!(\text{mol}\cdot\text{K}).
O que é pedido:
  • A alteração da temperatura do gás, isto é \Delta T.

Passo 2

Entendendo a física e as fórmulas que vamos usar (aulas rápidas e sem pular etapas).
  1. Primeira lei da termodinâmica (para um sistema fechado): a variação da energia interna \Delta U é igual ao calor trocado Q menos o trabalho realizado pelo sistema W:
\Delta U = Q - W.
Aqui cada símbolo significa:
  • \Delta U: variação da energia interna do gás (J).
  • Q: calor trocado com o ambiente (J).
  • W: trabalho realizado pelo gás sobre o ambiente (J). Pelo enunciado, W=+500\\ \text{J}.
  1. Processo adiabático significa que não há troca de calor com o ambiente, portanto
Q=0.
Substituindo em \Delta U = Q - W obtemos, em um processo adiabático:
\Delta U = -W.
Isto é, se o gás realiza trabalho W>0 sua energia interna diminui e \Delta U<0.
  1. Energia interna de um gás ideal monoatômico: para um gás ideal com f graus de liberdade a energia interna é
U = \frac{f}{2}\,n R T,
onde:
  • n é o número de mols,
  • R é a constante dos gases,
  • T é a temperatura absoluta (K),
  • f é o número de graus de liberdade (para monoatômico f=3).
Para monoatômico portanto
U = \frac{3}{2}\,n R T.
Logo a variação de energia interna ao alterar a temperatura é
\Delta U = \frac{3}{2}\,n R\,\Delta T.
Aqui \Delta T é a variação da temperatura que queremos encontrar.
Resumo das relações úteis que vamos combinar:
\Delta U = -W \qquad\text{e}\qquad \Delta U = \frac{3}{2}\,n R\,\Delta T.

Passo 3

Isolando \Delta T pelas duas relações: igualando as expressões para \Delta U,
\frac{3}{2}\,n R\,\Delta T = -W.
Isolando \Delta T,
\Delta T = \frac{-W}{\tfrac{3}{2}\,n R} = \frac{2(-W)}{3 n R}.
Agora precisamos do número de mols n. Calcula-se n a partir da massa e da massa molar:
n = \frac{m}{M_{\mathrm{He}}}.
Substituindo os valores numéricos conhecidos: m=10\\ \text{g} e M_{\mathrm{He}}=4{,}00\\ \text{g}\!/\!\text{mol},
n = \frac{10}{4{,}00} = 2{,}5\\ \text{mol}.

Passo 4

Substituir n, W e R na fórmula de \Delta T. Lembrando que W=+500\\ \text{J}, portanto -W=-500\\ \text{J}.
\Delta T = \frac{2(-500)}{3\cdot 2{,}5 \cdot 8{,}314}.
Calculemos o denominador passo a passo:
3\cdot 2{,}5 = 7{,}5,
7{,}5 \cdot 8{,}314 = 62{,}355\\ \text{J/K}.
Portanto
\Delta T = \frac{-1000}{62{,}355}\\ \text{K}.

Passo 5

Faça a divisão para obter o valor numérico da variação de temperatura:
\Delta T \approx -16{,}04\\ \text{K}.
Interpretação: a variação negativa indica que a temperatura do gás diminuiu — faz sentido fisicamente: o gás gastou energia realizando trabalho e, sem receber calor (adiabático), sua energia interna e temperatura caem.

Resposta

\Delta T \approx -16{,}04\\ \text{K}

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