37.12E Um gás de hélio (gás monoatômico) com massa de 10 g expande-se adiabaticamente realizando um trabalho de 500 J .
Qual é a alteração em sua temperatura? Sugestão: utilize o resultado do Problema 37.9.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
Dados fornecidos:
- Gás: hélio monoatômico.
- Massa do gás:
. - Processo: expande-se adiabaticamente realizando trabalho
(isto é, o gás realiza trabalho ). - Constantes que serão usadas: massa molar do hélio
e constante universal dos gases .
O que é pedido:
- A alteração da temperatura do gás, isto é
.
Passo 2
Entendendo a física e as fórmulas que vamos usar (aulas rápidas e sem pular etapas).
- Primeira lei da termodinâmica (para um sistema fechado): a variação da energia interna
é igual ao calor trocado menos o trabalho realizado pelo sistema :
Aqui cada símbolo significa:
-
: variação da energia interna do gás (J). -
: calor trocado com o ambiente (J). -
: trabalho realizado pelo gás sobre o ambiente (J). Pelo enunciado, .
- Processo adiabático significa que não há troca de calor com o ambiente, portanto
Substituindo em
obtemos, em um processo adiabático:
Isto é, se o gás realiza trabalho
sua energia interna diminui e
.
- Energia interna de um gás ideal monoatômico: para um gás ideal com
graus de liberdade a energia interna é
onde:
-
é o número de mols, -
é a constante dos gases, -
é a temperatura absoluta (K), -
é o número de graus de liberdade (para monoatômico ).
Para monoatômico portanto
Logo a variação de energia interna ao alterar a temperatura é
Aqui
é a variação da temperatura que queremos encontrar.
Resumo das relações úteis que vamos combinar:
Passo 3
Isolando
pelas duas relações: igualando as expressões para
,
Isolando
,
Agora precisamos do número de mols
. Calcula-se
a partir da massa e da massa molar:
Substituindo os valores numéricos conhecidos:
e
,
Passo 4
Substituir
,
e
na fórmula de
. Lembrando que
, portanto
.
Calculemos o denominador passo a passo:
Portanto
Passo 5
Faça a divisão para obter o valor numérico da variação de temperatura:
Interpretação: a variação negativa indica que a temperatura do gás diminuiu — faz sentido fisicamente: o gás gastou energia realizando trabalho e, sem receber calor (adiabático), sua energia interna e temperatura caem.