37.9P Um gás ideal contendo
moléculas expande-se adiabaticamente e no processo sua temperatura cai de
para
. Mostre que o gás realiza o trabalho.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma demonstração:
- Um gás ideal contém
moléculas. - O gás se expande adiabaticamente (ou seja, não há troca de calor com o ambiente).
- A temperatura do gás cai de
para . - Deve-se mostrar que o trabalho realizado pelo gás é
Informações relevantes que temos (explicitadas):
- Em um processo adiabático vale
(onde é o calor trocado). -
é a constante de Boltzmann. -
é a razão entre capacidades térmicas à pressão e a volume constantes: . -
e aqui são as capacidades térmicas por molécula (ou seja, calor necessário por molécula para aumentar a temperatura em uma unidade, nas condições indicadas).
Passo 2
Lembrete da Primeira Lei da Termodinâmica e convenção de sinais (explicação didática):
- A Primeira Lei diz que a variação de energia interna
é a diferença entre o calor recebido e o trabalho realizado pelo sistema:
- No nosso caso, o processo é adiabático, então
. Substituindo:
- Isso significa que a variação da energia interna é negativa do trabalho feito pelo gás. Rearranjando para obter o trabalho realizado pelo gás:
Aqui
e
são as energias internas inicial e final, respectivamente.
(Explicando em palavras: se o gás perde energia interna ao esfriar, essa energia saiu como trabalho que o gás fez.)
(Explicando em palavras: se o gás perde energia interna ao esfriar, essa energia saiu como trabalho que o gás fez.)
Passo 3
Energia interna de um gás ideal e capacidade térmica:
- Para um gás ideal mono ou poliatômico, a energia interna depende somente da temperatura. Isso vem da teoria cinética: a energia interna está nas energias cinéticas e possíveis de rotação/vibração das moléculas, que só mudam com
. - Podemos escrever a energia interna total do conjunto de
moléculas como
onde
é a capacidade térmica por molécula, à volume constante. Aqui:
-
tem unidades de energia, -
é número de moléculas, -
tem unidades de energia por molécula por unidade de temperatura, -
é a temperatura. - Observação prática: para um gás monoatômico clássico
; para um diatômico em condições usuais . Mas a expressão vale em geral para gás ideal.
Passo 4
Calcular a variação de energia interna
:
- Usando
, a variação ao passar de para é
- Então, pelo resultado do Passo 2 (
), obtemos
Essa já é uma forma simples e física do trabalho feito: trabalho =
vezes a queda de temperatura.
Passo 5
Relacionar
com
(explicação didática sobre capacidades térmicas):
- Pela definição,
. - Para um gás ideal existe a relação clássica
. Vou mostrar por quê (passo a passo): - A entalpia por molécula é
, onde é energia interna por molécula, e são pressão e volume por molécula. - Para gás ideal, a equação de estado por molécula é
. - Diferenciando a entalpia em função de
a pressão constante, e lembrando que depende só de , tem-se
porque . - A entalpia por molécula é
- Assim
. - Substituindo em
, chega-se a
- Invertendo essa relação:
Passo 6
Substituir
em
e concluir:
- Substituindo a expressão de
do Passo 5 na expressão do Passo 4,
- Reorganizando (apenas para ficar igual ao enunciado),
que é precisamente a fórmula pedida.
Passo 7
Comentário final e verificação rápida (didática e motivacional):
- Unidade e sinal: se
(caso descrito), então e , ou seja, o gás realiza trabalho positivo sobre o entorno — isso faz sentido físico para uma expansão adiabática que sai do gás energia interna para realizar trabalho. - Resumo intuitivo: num processo adiabático a energia que sai do gás (redução de
) aparece como trabalho; para gás ideal é proporcional a , e a constante de proporcionalidade é ; escrever em função de dá a forma pedida.