37.9P Um gás ideal contendo N moléculas expande-se adiabaticamente e no processo sua temperatura cai de T_{i} para T_{r}. Mostre que o gás realiza o trabalho.
W=\frac{N k}{\gamma-1}\left(T_{i}-T_{f}\right)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma demonstração:
  • Um gás ideal contém N moléculas.
  • O gás se expande adiabaticamente (ou seja, não há troca de calor com o ambiente).
  • A temperatura do gás cai de T_{i} para T_{f}.
  • Deve-se mostrar que o trabalho realizado pelo gás é
W=\frac{N k}{\gamma-1}\left(T_{i}-T_{f}\right).
Informações relevantes que temos (explicitadas):
  • Em um processo adiabático vale Q=0 (onde Q é o calor trocado).
  • k é a constante de Boltzmann.
  • \gamma é a razão entre capacidades térmicas à pressão e a volume constantes: \gamma = \dfrac{C_P}{C_V}.
  • C_V e C_P aqui são as capacidades térmicas por molécula (ou seja, calor necessário por molécula para aumentar a temperatura em uma unidade, nas condições indicadas).

Passo 2

Lembrete da Primeira Lei da Termodinâmica e convenção de sinais (explicação didática):
  • A Primeira Lei diz que a variação de energia interna \Delta U é a diferença entre o calor recebido e o trabalho realizado pelo sistema:
\Delta U = Q - W.
  • No nosso caso, o processo é adiabático, então Q=0. Substituindo:
\Delta U = -W.
  • Isso significa que a variação da energia interna é negativa do trabalho feito pelo gás. Rearranjando para obter o trabalho realizado pelo gás:
W = -\Delta U = U_i - U_f.
Aqui U_i e U_f são as energias internas inicial e final, respectivamente.
(Explicando em palavras: se o gás perde energia interna ao esfriar, essa energia saiu como trabalho que o gás fez.)

Passo 3

Energia interna de um gás ideal e capacidade térmica:
  • Para um gás ideal mono ou poliatômico, a energia interna depende somente da temperatura. Isso vem da teoria cinética: a energia interna está nas energias cinéticas e possíveis de rotação/vibração das moléculas, que só mudam com T.
  • Podemos escrever a energia interna total do conjunto de N moléculas como
U = N C_V T,
onde C_V é a capacidade térmica por molécula, à volume constante. Aqui:
  • U tem unidades de energia,
  • N é número de moléculas,
  • C_V tem unidades de energia por molécula por unidade de temperatura,
  • T é a temperatura.
  • Observação prática: para um gás monoatômico clássico C_V=\tfrac{3}{2}k; para um diatômico em condições usuais C_V=\tfrac{5}{2}k. Mas a expressão U=N C_V T vale em geral para gás ideal.

Passo 4

Calcular a variação de energia interna \Delta U:
  • Usando U=N C_V T, a variação ao passar de T_{i} para T_{f} é
\Delta U = U_f - U_i = N C_V T_{f} - N C_V T_{i} = N C_V\left(T_{f}-T_{i}\right).
  • Então, pelo resultado do Passo 2 ( W = -\Delta U), obtemos
W = -N C_V\left(T_{f}-T_{i}\right) = N C_V\left(T_{i}-T_{f}\right).
Essa já é uma forma simples e física do trabalho feito: trabalho = N C_V vezes a queda de temperatura.

Passo 5

Relacionar C_V com \gamma (explicação didática sobre capacidades térmicas):
  • Pela definição, \gamma = \dfrac{C_P}{C_V}.
  • Para um gás ideal existe a relação clássica C_P = C_V + k. Vou mostrar por quê (passo a passo):
    • A entalpia por molécula é h = u + p v, onde u é energia interna por molécula, p e v são pressão e volume por molécula.
    • Para gás ideal, a equação de estado por molécula é p v = k T.
    • Diferenciando a entalpia em função de T a pressão constante, e lembrando que u depende só de T, tem-se
    C_P = \left(\frac{d h}{d T}\right)_P = \frac{d u}{d T} + \frac{d}{dT}(p v)_P = C_V + k,porque \dfrac{d}{dT}(kT)=k.
  • Assim C_P - C_V = k.
  • Substituindo em \gamma = \dfrac{C_P}{C_V} = 1 + \dfrac{k}{C_V}, chega-se a
\gamma - 1 = \frac{k}{C_V}.
  • Invertendo essa relação:
C_V = \frac{k}{\gamma - 1}.

Passo 6

Substituir C_V em W = N C_V (T_i - T_f) e concluir:
  • Substituindo a expressão de C_V do Passo 5 na expressão do Passo 4,
W = N \left(\frac{k}{\gamma - 1}\right)\left(T_{i}-T_{f}\right).
  • Reorganizando (apenas para ficar igual ao enunciado),
W=\frac{N k}{\gamma-1}\left(T_{i}-T_{f}\right),
que é precisamente a fórmula pedida.

Passo 7

Comentário final e verificação rápida (didática e motivacional):
  • Unidade e sinal: se T_i>T_f (caso descrito), então T_i-T_f>0 e W>0, ou seja, o gás realiza trabalho positivo sobre o entorno — isso faz sentido físico para uma expansão adiabática que sai do gás energia interna para realizar trabalho.
  • Resumo intuitivo: num processo adiabático a energia que sai do gás (redução de U) aparece como trabalho; para gás ideal U é proporcional a T, e a constante de proporcionalidade é N C_V; escrever C_V em função de \gamma dá a forma pedida.

Resposta

W=\frac{N k}{\gamma-1}\left(T_{i}-T_{f}\right)

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