37.14P Mostre que os calores específicos molares de um gás ideal monoatômico são respectivamente
c_{V}=\frac{3}{2} R, \quad c_{p}=\frac{5}{2} R .
Sugestão: considere o resultado do Problema 37.13.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um gás ideal monoatômico, os calores específicos molares são
c_{V}=\frac{3}{2}R,\qquad c_{p}=\frac{5}{2}R.
Informações relevantes dadas ou sugeridas:
  • Trata‑se de um gás ideal monoatômico.
  • A sugestão manda considerar o resultado do Problema 37.13; adotarei o resultado usual desse problema: a energia interna por mol (energia interna molar) é
U_{m}=\frac{3}{2}RT,
ou, em termos de n mols,
U=\frac{3}{2}nRT.
  • As quantidades a definir e usar são os calores específicos molares a volume constante c_{V} e a pressão constante c_{p} (valores por mol).

Passo 2

Definições e ideias básicas (passo didático para lembrar o que é cada coisa).
  • O calor específico molar a volume constante c_{V} é a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de uma mol de gás em uma unidade, mantendo o volume constante. Em fórmula:
c_{V}=\left(\frac{\partial Q}{\partial T}\right)_{V,\;n=1}.
  • A primeira lei da termodinâmica diz dQ=dU+dW. Em um processo a volume constante temos dW=PdV=0, então dQ=dU e, para uma mol,
c_{V}=\left(\frac{dU_{m}}{dT}\right)_{V}.
Explicação simples: a energia adicionada a volume constante vai só para a energia interna, por isso c_V é a derivada da energia interna molar em relação a T.
  • O calor específico molar a pressão constante c_{p} é definido por
c_{p}=\left(\frac{\partial Q}{\partial T}\right)_{p,\;n=1}.
Usaremos que, para processos quasistáticos, a entalpia molar é H_{m}=U_{m}+P V_{m} e que, a pressão constante, o calor trocado é dQ=dH; logo
c_{p}=\left(\frac{dH_{m}}{dT}\right)_{p}.
  • Também vale a relação (fácil de verificar): para um gás ideal PV_{m}=RT (para uma mol), então H_{m}=U_{m}+RT.

Passo 3

Explicando e justificando a fórmula usada do Problema 37.13 (aula rapidinha):
  • Um gás monoatômico tem apenas energia cinética de translação das partículas (três graus de liberdade de translação). Pelo princípio da equipartição (ou pelo problema 37.13), a energia cinética média por molécula é
\langle E_{\text{cin, por mol\'ecula}}\rangle=\frac{3}{2}k_{B}T,
onde k_{B} é a constante de Boltzmann.
  • Multiplicando pelo número de Avogadro N_{A} obtém‑se a energia por mol:
U_{m}=N_{A}\cdot\frac{3}{2}k_{B}T=\frac{3}{2}N_{A}k_{B}T.
  • Como R=N_{A}k_{B} (constante dos gases), fica
U_{m}=\frac{3}{2}RT,
que é exatamente o resultado que vamos usar. Essa é a razão física: 3 graus de liberdade \times \tfrac{1}{2}k_{B}T por grau por partícula.

Passo 4

Cálculo de c_{V} passo a passo:
  • Usando a definição de c_{V} e a expressão de U_{m}:
c_{V}=\frac{dU_{m}}{dT}.
  • Substituindo U_{m}=\dfrac{3}{2}RT:
c_{V}=\frac{d}{dT}\left(\frac{3}{2}RT\right).
  • Aqui R é constante, então a derivada é direta:
c_{V}=\frac{3}{2}R.
Interpretação: cada grau de liberdade translacional contribui com \tfrac{1}{2}R para o calor molar a volume constante; com 3 graus temos 3\cdot\tfrac{1}{2}R=\tfrac{3}{2}R.

Passo 5

Cálculo de c_{p} passo a passo (duas maneiras, explicadas didaticamente).
Maneira A — via entalpia:
  • A entalpia molar é H_{m}=U_{m}+P V_{m}.
  • Para uma mol de gás ideal P V_{m}=RT, então
H_{m}=U_{m}+RT.
  • Substituindo U_{m}=\dfrac{3}{2}RT:
H_{m}=\frac{3}{2}RT+RT=\frac{5}{2}RT.
  • Então
c_{p}=\frac{dH_{m}}{dT}=\frac{d}{dT}\left(\frac{5}{2}RT\right)=\frac{5}{2}R.
Maneira B — via relação de Mayer (curto e útil para prova):
  • Para gases ideais existe a relação (Mayer)
c_{p}-c_{V}=R.
  • Já encontramos c_{V}=\dfrac{3}{2}R, logo
c_{p}=c_{V}+R=\frac{3}{2}R+R=\frac{5}{2}R.
Comentário: essa relação é fácil de memorizar e usar na prova; ela vem diretamente de H=U+PV e da lei dos gases ideais.

Passo 6

Resumo e interpretação final (motivacional e prático):
  • Resultado matemático obtido: c_{V}=\dfrac{3}{2}R e c_{p}=\dfrac{5}{2}R.
  • Física por trás (pra lembrar na prova): monatomicamente só existem 3 modos de translação; cada modo dá \tfrac{1}{2}R por mol ao calor específico a volume constante. A diferença entre c_p e c_V é R porque, a pressão constante, parte do calor entra como trabalho P\Delta V.

Resposta

c_{V}=\dfrac{3}{2}R
c_{p}=\dfrac{5}{2}R

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