37.14P Mostre que os calores específicos molares de um gás ideal monoatômico são respectivamente
Sugestão: considere o resultado do Problema 37.13.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para um gás ideal monoatômico, os calores específicos molares são
Informações relevantes dadas ou sugeridas:
- Trata‑se de um gás ideal monoatômico.
- A sugestão manda considerar o resultado do Problema 37.13; adotarei o resultado usual desse problema: a energia interna por mol (energia interna molar) é
ou, em termos de
mols,
- As quantidades a definir e usar são os calores específicos molares a volume constante
e a pressão constante (valores por mol).
Passo 2
Definições e ideias básicas (passo didático para lembrar o que é cada coisa).
- O calor específico molar a volume constante
é a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de uma mol de gás em uma unidade, mantendo o volume constante. Em fórmula:
- A primeira lei da termodinâmica diz
. Em um processo a volume constante temos , então e, para uma mol,
Explicação simples: a energia adicionada a volume constante vai só para a energia interna, por isso
é a derivada da energia interna molar em relação a
.
- O calor específico molar a pressão constante
é definido por
Usaremos que, para processos quasistáticos, a entalpia molar é
e que, a pressão constante, o calor trocado é
; logo
- Também vale a relação (fácil de verificar): para um gás ideal
(para uma mol), então .
Passo 3
Explicando e justificando a fórmula usada do Problema 37.13 (aula rapidinha):
- Um gás monoatômico tem apenas energia cinética de translação das partículas (três graus de liberdade de translação). Pelo princípio da equipartição (ou pelo problema 37.13), a energia cinética média por molécula é
onde
é a constante de Boltzmann.
- Multiplicando pelo número de Avogadro
obtém‑se a energia por mol:
- Como
(constante dos gases), fica
que é exatamente o resultado que vamos usar. Essa é a razão física: 3 graus de liberdade
por grau por partícula.
Passo 4
Cálculo de
passo a passo:
- Usando a definição de
e a expressão de :
- Substituindo
:
- Aqui
é constante, então a derivada é direta:
Interpretação: cada grau de liberdade translacional contribui com
para o calor molar a volume constante; com 3 graus temos
.
Passo 5
Cálculo de
passo a passo (duas maneiras, explicadas didaticamente).
Maneira A — via entalpia:
- A entalpia molar é
. - Para uma mol de gás ideal
, então
- Substituindo
:
- Então
Maneira B — via relação de Mayer (curto e útil para prova):
- Para gases ideais existe a relação (Mayer)
- Já encontramos
, logo
Comentário: essa relação é fácil de memorizar e usar na prova; ela vem diretamente de
e da lei dos gases ideais.
Passo 6
Resumo e interpretação final (motivacional e prático):
- Resultado matemático obtido:
e . - Física por trás (pra lembrar na prova): monatomicamente só existem 3 modos de translação; cada modo dá
por mol ao calor específico a volume constante. A diferença entre e é porque, a pressão constante, parte do calor entra como trabalho .