6-37 A 5-cm-diameter horizontal jet of water with a velocity of 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s} strikes a flat plate that is moving in the same direction as the jet at a velocity of 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. The water splatters in all directions in the plane of the plate. How much force does the water stream exert on the plate?

Passo 1

O enunciado descreve um jato de água horizontal de diâmetro D=5\text{ cm} e velocidade V_1=30\text{ m/s} que incide em uma placa móvel, na mesma direção, com velocidade V_{\text{placa}}=10\text{ m/s}. A água esguicha no plano da placa, ou seja, após o impacto sua componente normal à placa é nula. Vamos usar o princípio da conservação do momento para controlar a força exercida pelo jato na placa.

Passo 2

Primeiro calculamos a área da seção do jato e a vazão mássica.
A área é
A = \frac{\pi D^2}{4}
logo, com D=0,05 m,
A = \frac{\pi (0,05)^2}{4} \approx 1{,}9635\times10^{-3}\text{ m}^2.
A vazão mássica é
\dot m = \rho\,A\,V_1,
onde \rho=1000\text{ kg/m}^3. Assim,
\dot m = 1000 \times 1{,}9635\times10^{-3} \times 30 \approx 58{,}91\text{ kg/s}.

Passo 3

A velocidade do jato relativa à placa na direção normal é
V_{\text{rel}} = V_1 - V_{\text{placa}} = 30 - 10 = 20\text{ m/s}.

Passo 4

Pelo balanço de momentum na direção do jato, a variação de momentum por segundo é
\Delta \dot p = \dot m\,\bigl(V_{\text{saida,n}} - V_{\text{entrada,n}}\bigr) =\dot m\,(0 - V_{\text{rel}}) = -\dot m\,V_{\text{rel}}.
A magnitude da força que a água exerce sobre a placa é
F = \dot m\,V_{\text{rel}}.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos:
F = 58{,}91 \times 20 \approx 1178{,}2\text{ N}.

Resposta

A força exercida pelo jato na placa é de aproximadamente 1{,}18\times10^3 N.

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