6-45C Express the unsteady angular momentum equation in vector form for a control volume that has a constant moment of inertia
, no external moments applied, one outgoing uniform flow stream of velocity
, and mass flow rate
.
Passo 1
O enunciado pede a equação de momento angular não‐estacionária (unsteady angular momentum) em forma vetorial para um volume de controle que:
– tem momento de inércia constante em torno de um eixo fixo;
– não recebe momento externo ;
– só tem um escoamento de massa saindo, com vazão mássica e velocidade uniforme
no ponto de saída, situado a posição vetorial
medida a partir do eixo.
– tem momento de inércia constante
– não recebe momento externo
– só tem um escoamento de massa saindo, com vazão mássica
Passo 2
Escrevemos primeiro a forma geral do Teorema do Momento Angular para um CV:
Aqui
é o momento angular dentro do controle, e os termos de soma são os fluxos convectivos de momento angular pelas superfícies de entrada e saída.
Passo 3
Como não há entradas de massa e só há uma saída, o termo de entrada some, ficando
Além disso, não há momentos externos, então
.
Passo 4
O momento angular interno do CV, em torno do eixo fixo, é
com
constante e
a velocidade angular. Portanto
Substituindo na equação do passo anterior, obtemos