6-45C Express the unsteady angular momentum equation in vector form for a control volume that has a constant moment of inertia I, no external moments applied, one outgoing uniform flow stream of velocity \vec{V}, and mass flow rate \dot{m}.

Passo 1

O enunciado pede a equação de momento angular não‐estacionária (unsteady angular momentum) em forma vetorial para um volume de controle que:
– tem momento de inércia constante I em torno de um eixo fixo;
– não recebe momento externo \sum \mathbf{M}_{\rm ext}=0;
– só tem um escoamento de massa saindo, com vazão mássica \dot m e velocidade uniforme \mathbf{V} no ponto de saída, situado a posição vetorial \mathbf{r} medida a partir do eixo.

Passo 2

Escrevemos primeiro a forma geral do Teorema do Momento Angular para um CV:
\sum \mathbf{M}_{\rm ext} = \frac{d}{dt}\mathbf{H}_{\rm CV} +\sum_{\rm out}\dot m\,(\mathbf{r}\times\mathbf{V}) -\sum_{\rm in}\dot m\,(\mathbf{r}\times\mathbf{V})\,.
Aqui \mathbf{H}_{\rm CV} é o momento angular dentro do controle, e os termos de soma são os fluxos convectivos de momento angular pelas superfícies de entrada e saída.

Passo 3

Como não há entradas de massa e só há uma saída, o termo de entrada some, ficando
\sum \mathbf{M}_{\rm ext} = \frac{d}{dt}\mathbf{H}_{\rm CV} +\dot m\;(\mathbf{r}\times\mathbf{V})\,.
Além disso, não há momentos externos, então \sum \mathbf{M}_{\rm ext}=\mathbf{0}.

Passo 4

O momento angular interno do CV, em torno do eixo fixo, é
\mathbf{H}_{\rm CV} = I\,\boldsymbol{\omega}\,,
com I constante e \boldsymbol{\omega} a velocidade angular. Portanto
\frac{d}{dt}\mathbf{H}_{\rm CV} = \frac{d}{dt}\bigl(I\,\boldsymbol{\omega}\bigr) = I\,\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt} = I\,\dot{\boldsymbol{\omega}}.
Substituindo na equação do passo anterior, obtemos
\mathbf{0} = I\,\dot{\boldsymbol{\omega}} +\dot m\,(\mathbf{r}\times\mathbf{V})\,.

Resposta

I\,\dot{\boldsymbol{\omega}} + \dot m\,\bigl(\mathbf{r}\times\mathbf{V}\bigr) = \mathbf{0}\,.

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