6-39E A fan with 24-in-diameter blades moves 2000 cfm (cubic feet per minute) of air at 70^{\circ} \mathrm{F} at sea level. Determine (a) the force required to hold the fan and (b) the minimum power input required for the fan. Choose the control volume sufficiently large to contain the fan, and the gage pressure and the air velocity on the inlet side to be zero. Assume air approaches the fan through a large area with negligible velocity and air exits the fan with a uniform velocity at atmospheric pressure through an imaginary cylinder whose diameter is the fan blade diameter. Answers: (a) 0.82 lbf , (b) 5.91 W

Passo 1

O enunciado dá um ventilador de diâmetro de hélice de 24 in (ou seja, 2 ft) que movimenta 2000 cfm de ar a 70^\circ\mathrm{F} ao nível do mar. Pede-se (a) a força estática necessária para manter o ventilador e (b) a potência mínima de entrada. Vamos usar um controle de volume envolvendo o ventilador e aplicar a equação de quantidade de movimento para (a) e o balanço de energia cinética para (b).

Passo 2

Convertemos o diâmetro para pés e calculamos a área de saída.
O raio é
r = \frac{24\\ \text{in}}{2\cdot12\\ \text{in/ft}} = 1\\ \text{ft},
logo a área é
A = \pi r^2 = \pi(1\\ \text{ft})^2 = \pi\\ \text{ft}^2.

Passo 3

Calculamos a velocidade uniforme de saída V_e sabend o fluxo volumétrico em \mathrm{ft}^3/\mathrm{s}.
Q = 2000\\ \text{cfm} = \frac{2000}{60}\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{s} = 33{,}333\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{s}.
Então
V_e = \frac{Q}{A} = \frac{33{,}333}{\pi}\\ \mathrm{ft/s} \approx 10{,}61\\ \mathrm{ft/s}.

Passo 4

Determinamos a massa específica do ar a 70^\circ\mathrm{F} e pressão atmosférica.
A temperatura absoluta é
T = 70 + 460 = 530\\ \mathrm{R},
a pressão é P = 14{,}696\\ \mathrm{psi} = 14{,}696\times144\\ \mathrm{psf}. O gás é ideal com R = 1716\\ \mathrm{ft\cdot lb_f/(slug\cdot R)}. Logo
\rho = \frac{P}{R\,T} = \frac{14{,}696\times144}{1716\times530}\\ \mathrm{slug/ft^3} \approx 0{,}002327\\ \mathrm{slug/ft^3}.

Passo 5

Calculamos a vazão mássica \dot m:
\dot m = \rho\,Q = 0{,}002327\\ \mathrm{slug/ft^3}\times33{,}333\\ \mathrm{ft^3/s} \approx 0{,}07757\\ \mathrm{slug/s}.

Passo 6

Aplicamos a equação de quantidade de movimento para achar a força F necessária: a velocidade de entrada é desprezível V_i\approx0, então
F = \dot m\,(V_e - V_i) = \dot m\,V_e = 0{,}07757\\ \mathrm{slug/s}\times10{,}61\\ \mathrm{ft/s} \approx 0{,}823\\ \mathrm{lbf}.

Passo 7

Usamos o balanço de energia cinética para obter a potência mínima P:
P = \tfrac12\,\dot m\,(V_e^2 - V_i^2) = \tfrac12\cdot0{,}07757\,(10{,}61)^2\\ \mathrm{ft\!\cdotlbf/s} \approx 4{,}36\\ \mathrm{ft\cdotlbf/s}.
Convertendo para watts 1\\ \mathrm{ft\cdotlbf/s}=1{,}3558\\ \mathrm{W}:
P \approx 4{,}36\times1{,}3558 = 5{,}91\\ \mathrm{W}.

Resposta

(a) 0{,}82\\ \mathrm{lbf}
(b) 5{,}91\\ \mathrm{W}

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