Ex. 5.37 Determinar as coordenadas do polinômio \mathrm{p}(\mathrm{t}) \in \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}), dado por \mathrm{p}(\mathrm{t})=10+\mathrm{t}^{2}+2 \mathrm{t}^{3}, \mathrm{t} \in \mathbb{R} em relação as seguintes bases de \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R});
base canônica

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas do polinômio
p(t)=10 + t^2 + 2t^3
no espaço \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}) em relação à base canônica \mathscr{B}=\{1,\,t,\,t^2,\,t^3\}.
Para isso, precisamos escrever p(t) como combinação linear dos vetores da base e identificar os coeficientes.

Passo 2

Suponha que
p(t)=a_1\cdot1 + a_2\cdot t + a_3\cdot t^2 + a_4\cdot t^3.
Comparando termo a termo com 10 + t^2 + 2t^3, vemos que:
a_1 = 10,\quad a_2 = 0,\quad a_3 = 1,\quad a_4 = 2.

Resposta

As coordenadas de p(t) na base canônica \{1,t,t^2,t^3\} são
\bigl[\,p(t)\bigr]_{\mathscr{B}} = (10,\;0,\;1,\;2).

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