Ex. 5.37 Determinar as coordenadas do polinômio \mathrm{p}(\mathrm{t}) \in \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}), dado por \mathrm{p}(\mathrm{t})=10+\mathrm{t}^{2}+2 \mathrm{t}^{3}, \mathrm{t} \in \mathbb{R} em relação as seguintes bases de \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R});
\left\{1,1+\mathrm{t}, 1+\mathrm{t}+\mathrm{t}^{2}, 1+\mathrm{t}+\mathrm{t}^{2}+\mathrm{t}^{3}\right\}

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio p(t)=10 + t^2 + 2t^3 em \mathscr{P}_3(\mathbb{R}) e pede suas coordenadas em relação à base
\mathcal{B} = \bigl\{\,1,\;1+t,\;1+t+t^2,\;1+t+t^2+t^3\bigr\}.
Vamos representar p como combinação linear dos vetores de \mathcal{B} e encontrar os coeficientes.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,c,d\in\mathbb{R} tais que
p(t) = a\cdot 1 \;+\; b\,(1+t)\;+\; c\,(1+t+t^2)\;+\; d\,(1+t+t^2+t^3).
Nosso objetivo é achar a,b,c,d.

Passo 3

Expandindo o lado direito:
a + b(1+t) + c(1+t+t^2) + d(1+t+t^2+t^3) = (a + b + c + d) + (b + c + d)\,t + (c + d)\,t^2 + d\,t^3.

Passo 4

Comparando com p(t)=10 + 0\cdot t + 1\cdot t^2 + 2\cdot t^3, obtemos o sistema
\begin{cases} a + b + c + d = 10,\\\ b + c + d = 0,\\\ c + d = 1,\\\ d = 2. \end{cases}

Passo 5

Resolvendo de baixo para cima:
d = 2,
c = 1 - d = 1 - 2 = -1,
b = 0 - (c + d) = 0 - (-1 + 2) = -1,
a = 10 - (b + c + d) = 10 - (-1 -1 + 2) = 10.

Resposta

As coordenadas de p(t) em relação à base \mathcal{B} são
\bigl[a,b,c,d\bigr] = \bigl[10,\,-1,\,-1,\,2\bigr].

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