Ex. 5.36 Determinar as coordenadas do vetor u=(-1,8,5) \in \mathbb{R}^{3} em relação a cada uma das bases de \mathbb{R}^{3} abaixo;
base canônica

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor u = (-1,8,5) em \mathbb{R}^3 e pede suas coordenadas em relação à base canônica. O conteúdo envolvido é o conceito de coordenadas de um vetor numa dada base, obtidas pelos coeficientes da combinação linear dos vetores da base.

Passo 2

A base canônica \mathcal{E} de \mathbb{R}^3 é formada pelos vetores
e_1 = (1,0,0),\quad e_2 = (0,1,0),\quad e_3 = (0,0,1).

Passo 3

Escrevemos u como combinação linear dos vetores de \mathcal{E}:
u = a\,e_1 + b\,e_2 + c\,e_3.

Passo 4

Como
a\,e_1 + b\,e_2 + c\,e_3 = (a,b,c)
e queremos (a,b,c)=(-1,8,5), segue que
a = -1,\quad b = 8,\quad c = 5.

Resposta

[u]_{\mathcal{E}} = \begin{pmatrix}-1 \\[6pt] 8 \\[6pt] 5\end{pmatrix}.]

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