Ex. 5.36 Determinar as coordenadas do vetor u=(-1,8,5) \in \mathbb{R}^{3} em relação a cada uma das bases de \mathbb{R}^{3} abaixo;
\{(0,0,1),(0,1,1),(1,1,1)\}

Passo 1

O enunciado dá o vetor u = (-1,8,5) em \mathbb{R}^3 e a base \{\,v_1=(0,0,1),\;v_2=(0,1,1),\;v_3=(1,1,1)\}.
Queremos encontrar escalares a,b,c tais que
a\,v_1 + b\,v_2 + c\,v_3 = u.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear em coordenadas, temos
a\,(0,0,1) + b\,(0,1,1) + c\,(1,1,1) = (c,\;b+c,\;a+b+c)
e isso deve ser igual a (-1,8,5). Logo equacionamos:
\begin{cases} c = -1,\\\ b + c = 8,\\\ a + b + c = 5. \end{cases}

Passo 3

Resolvendo o sistema:
c = -1,\quad b + (-1)=8\implies b=9, \quad a + 9 + (-1)=5\implies a= -3.

Resposta

As coordenadas de u na base dada são (-3,\,9,\,-1).

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