Ex. 5.37 Determinar as coordenadas do polinômio \mathrm{p}(\mathrm{t}) \in \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}), dado por \mathrm{p}(\mathrm{t})=10+\mathrm{t}^{2}+2 \mathrm{t}^{3}, \mathrm{t} \in \mathbb{R} em relação as seguintes bases de \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R});
\left\{4+t, 2,2-t^{2}, t+t^{3}\right\}

Passo 1

Estamos em \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}) e queremos achar as coordenadas de
p(t)=10+t^{2}+2t^{3}
na base
\{\,4+t,\;2,\;2-t^{2},\;t+t^{3}\}.
Isso significa encontrar escalares a,b,c,d tais que
a(4+t)+b\cdot2+c(2-t^{2})+d(t+t^{3})=10+t^{2}+2t^{3}.

Passo 2

Vamos expandir a combinação linear e agrupar em potências de t:
a(4+t)=4a + a\,t, \quad b\cdot2=2b, \quad c(2-t^{2})=2c - c\,t^{2}, \quad d(t+t^{3})=d\,t + d\,t^{3}.
Somando tudo,
4a +2b +2c \;+\;(a+d)\,t \;-\;c\,t^{2} \;+\;d\,t^{3}.

Passo 3

Comparando termo a termo com 10+0\cdot t+1\cdot t^{2}+2\cdot t^{3}, obtemos o sistema
4a+2b+2c=10, \quad a+d=0, \quad -\,c=1, \quad d=2.

Passo 4

Resolvendo:
-\,c=1\;\Rightarrow\;c=-1, \quad d=2, \quad a+d=0\;\Rightarrow\;a=-d=-2.
Substituindo em 4a+2b+2c=10:
4(-2)+2b+2(-1)=10 \;\Rightarrow\;-8+2b-2=10 \;\Rightarrow\;2b=20 \;\Rightarrow\;b=10.

Resposta

As coordenadas de p(t) na base dada são
(-2,\;10,\;-1,\;2).

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