Ex. 5.40 Verifique que as coordenadas de p(x) \in \mathscr{P}_{n}(\mathbb{R}) com relação à base \mathrm{B}=\left\{1, x, \ldots, x^{n}\right\} é
\left(\begin{array}{c} p(0) \\\ p^{\prime}(0) \\\ \frac{1}{2!} p^{\prime \prime}(0) \\\ \vdots \\\ \frac{1}{n!} p^{(n)}(0) \end{array}\right)
onde p^{(k)}(0) representa a k-ésima derivada de p em x=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no espaço \mathscr P_n(\mathbb R) com a base
\mathrm B = \{1,\;x,\;\dots,\;x^n\},
as coordenadas de um polinômio p(x) nessa base coincidem com os coeficientes de sua série de Taylor em x=0. Para isso, usaremos a definição de coordenadas em base e a regra de derivação de potências.

Passo 2

Escrevemos
p(x) \;=\;\sum_{k=0}^{n}a_k\,x^k.
Por definição, as coordenadas de p em \mathrm B são
(a_0,\;a_1,\;\dots,\;a_n).
Precisamos mostrar que
a_k \;=\;\frac{1}{k!}\,p^{(k)}(0), \quad k=0,1,\dots,n.

Passo 3

Derivando k vezes a expressão de p(x), temos
p^{(k)}(x) =\sum_{j=k}^{n}j(j-1)\cdots(j-k+1)\;a_j\;x^{\,j-k}.
Avaliar em x=0 elimina todos os termos com j>k, restando apenas
p^{(k)}(0)=k!\,a_k.
Logo
a_k=\frac{p^{(k)}(0)}{k!}.

Resposta

\begin{pmatrix} p(0)\\[6pt] p'(0)\\[6pt] \dfrac{1}{2!}\,p''(0)\\[4pt] \vdots\\[4pt] \dfrac{1}{n!}\,p^{(n)}(0) \end{pmatrix}.]

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