onde p^{(k)}(0) representa a k-ésima derivada de p em x=0.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, no espaço \mathscr P_n(\mathbb R) com a base
\mathrm B = \{1,\;x,\;\dots,\;x^n\},
as coordenadas de um polinômio p(x) nessa base coincidem com os coeficientes de sua série de Taylor em x=0. Para isso, usaremos a definição de coordenadas em base e a regra de derivação de potências.
Passo 2
Escrevemos
p(x) \;=\;\sum_{k=0}^{n}a_k\,x^k.
Por definição, as coordenadas de p em \mathrm B são