Ex. 5.38 Determinar as coordenadas do vetor \left(\begin{array}{cc}2 & 5 \\\\ -8 & 7\end{array}\right) \in M_{2} em relação as seguintes bases de M_{2};
base canônica

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}2 & 5 \\[6pt] -8 & 7\end{pmatrix}
no espaço M_{2} e pede suas coordenadas em relação à base canônica de M_{2}. Para isso, vamos expressar A como combinação linear dos vetores (matrizes) da base canônica e identificar os coeficientes.]

Passo 2

A base canônica de M_{2} é
\{E_{11},\,E_{12},\,E_{21},\,E_{22}\},
onde
E_{11} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt] 0 & 0\end{pmatrix},\quad E_{12} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[3pt] 0 & 0\end{pmatrix},\quad E_{21} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[3pt] 1 & 0\end{pmatrix},\quad E_{22} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Suponha que existam escalares c_{1},c_{2},c_{3},c_{4} tais que
A \;=\; c_{1}E_{11} \;+\; c_{2}E_{12} \;+\; c_{3}E_{21} \;+\; c_{4}E_{22}.
Calculando a combinação, obtemos
c_{1}\begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt] 0 & 0\end{pmatrix} + c_{2}\begin{pmatrix}0 & 1 \\[3pt] 0 & 0\end{pmatrix} + c_{3}\begin{pmatrix}0 & 0 \\[3pt] 1 & 0\end{pmatrix} + c_{4}\begin{pmatrix}0 & 0 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c_{1} & c_{2} \\[3pt] c_{3} & c_{4}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Comparando com
A = \begin{pmatrix}2 & 5 \\[3pt] -8 & 7\end{pmatrix},
vemos que
c_{1}=2,\quad c_{2}=5,\quad c_{3}=-8,\quad c_{4}=7.]

Resposta

As coordenadas de A em relação à base canônica são
(2,5,-8,7).

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