7.37 O plano
é percorrido por uma corrente de 50 a,
. Se
na origem, determine
em:
(a) (- 2, 0, 5);
(a) (- 2, 0, 5);
Passo 1
Enunciado e dados (o que o problema pede e o que foi dado):
- O enunciado diz: o plano
é percorrido por uma corrente de . - Foi dado que
na origem . - Pede-se determinar
no ponto .
Observação importante (assunção que preciso fazer porque o enunciado não especificou a direção da corrente): vou assumir que a corrente superficial no plano
é uma densidade de corrente superficial uniforme
ao longo da direção positiva de
, ou seja
Justifico essa escolha porque problemas clássicos sobre um “plano percorrido por corrente” costumam considerar uma folha infinita com densidade de corrente superficial
em uma direção específica; a escolha da direção
é um padrão natural e simples para resolver o problema. Se a corrente tivesse outra direção, a resposta poderia mudar (eu comento isso quando necessário).
Passo 2
Conceitos físicos que vamos usar (explicação didática do que é cada coisa):
- Em magnetostática, a densidade de corrente superficial
sobre uma superfície produz um salto na componente tangencial do campo magnético através da superfície. A condição de contorno é
onde
é o versor normal da superfície apontando da região “abaixo” para a região “acima”.
- Além disso, em regiões sem corrente volumétrica, podemos definir um potencial escalar magnético
tal que
Isto é análogo ao potencial elétrico em eletrostática, só que aqui usamos
para os problemas magnetostáticos em regiões livres de corrente volumétrica.
Explicando em palavras: a condição de contorno diz que a diferença entre os campos magnéticos tangenciais nos dois lados da folha está relacionada diretamente à corrente superficial
. E onde não há corrente distribuída no volume, o campo
pode ser escrito como gradiente negativo de um potencial escalar.
Passo 3
Aplicando a condição de contorno ao nosso caso e encontrando
em cada região:
-
A folha está em
. Definimos “acima” como a região e “abaixo” como . O versor normal que aponta de “abaixo” para “acima” é . -
Usamos a condição de contorno
Escrevendo
e fazendo o produto vetorial:
Comparando com
obtemos as equações
Isto significa que a descontinuidade está na componente
de
.
- Pelo simetria do problema (folha infinita e homogênea), é natural escolher
constantes em cada região e simétricas em magnitude, ou seja
Verificação rápida:
e então
, que reproduz
. Portanto as escolhas acima satisfazem a condição de contorno.
- Numérico: com
,
Passo 4
Relacionando
com o potencial escalar
e determinando as expressões de
em cada região:
- Em regiões sem corrente volumétrica temos
. Como em cada região é constante e só tem componente em , podemos escrever para a região acima ( )
Da igualdade de componentes obtemos
Como
é constante, integramos em
:
- Substituindo
(veja Passo 3) temos
- De modo análogo, para a região abaixo (
) com obtemos
- Agora usamos a condição dada:
na origem . A origem tem , ou seja está na região “acima”, portanto
Assim a expressão do potencial na região onde está a origem fica simplesmente
Passo 5
Avaliação do potencial no ponto pedido e observações finais:
- O ponto pedido é
. Tem coordenada que é maior que , portanto o ponto está na região “acima” onde usamos
- No ponto dado,
. Logo
- Comentário pedagógico final: apesar de o ponto ter
e , o potencial escalar que obtivemos depende só de porque o campo magnético constante que a folha produz aponta na direção . Se a corrente superficial estivesse em outra direção (por exemplo ao longo de ), o campo ficaria numa direção diferente e o potencial poderia depender de ; aí a resposta mudaria. Mas, com a escolha natural , o valor pedido é zero.