7.37 O plano z=-2 é percorrido por uma corrente de 50 a, \mathrm{A} / \mathrm{m}. Se V_{n}=0 na origem, determine V_{n} em:
(a) (- 2, 0, 5);

Passo 1

Enunciado e dados (o que o problema pede e o que foi dado):
  • O enunciado diz: o plano \,z=-2\, é percorrido por uma corrente de 50\\ \mathrm{A/m}.
  • Foi dado que \,V_{n}=0\, na origem (0,0,0).
  • Pede-se determinar \,V_{n}\, no ponto (-2,0,5).
Observação importante (assunção que preciso fazer porque o enunciado não especificou a direção da corrente): vou assumir que a corrente superficial no plano \,z=-2\, é uma densidade de corrente superficial uniforme \mathbf{K} ao longo da direção positiva de x, ou seja
\mathbf{K}=K\,\hat{\mathbf{x}},\qquad K=50\\ \mathrm{A/m}.
Justifico essa escolha porque problemas clássicos sobre um “plano percorrido por corrente” costumam considerar uma folha infinita com densidade de corrente superficial \mathbf{K} em uma direção específica; a escolha da direção x é um padrão natural e simples para resolver o problema. Se a corrente tivesse outra direção, a resposta poderia mudar (eu comento isso quando necessário).

Passo 2

Conceitos físicos que vamos usar (explicação didática do que é cada coisa):
  • Em magnetostática, a densidade de corrente superficial \mathbf{K} sobre uma superfície produz um salto na componente tangencial do campo magnético \mathbf{H} através da superfície. A condição de contorno é
\hat{\mathbf{n}}\times\bigl(\mathbf{H}_{\text{acima}}-\mathbf{H}_{\text{abaixo}}\bigr)=\mathbf{K},
onde \hat{\mathbf{n}} é o versor normal da superfície apontando da região “abaixo” para a região “acima”.
  • Além disso, em regiões sem corrente volumétrica, podemos definir um potencial escalar magnético V_{n} tal que
\mathbf{H}=-\nabla V_{n}.
Isto é análogo ao potencial elétrico em eletrostática, só que aqui usamos V_{n} para os problemas magnetostáticos em regiões livres de corrente volumétrica.
Explicando em palavras: a condição de contorno diz que a diferença entre os campos magnéticos tangenciais nos dois lados da folha está relacionada diretamente à corrente superficial \mathbf{K}. E onde não há corrente distribuída no volume, o campo \mathbf{H} pode ser escrito como gradiente negativo de um potencial escalar.

Passo 3

Aplicando a condição de contorno ao nosso caso e encontrando \mathbf{H} em cada região:
  • A folha está em \,z=-2\,. Definimos “acima” como a região z>-2 e “abaixo” como z<-2. O versor normal que aponta de “abaixo” para “acima” é \hat{\mathbf{n}}=\hat{\mathbf{z}}.
  • Usamos a condição de contorno
\hat{\mathbf{z}}\times\bigl(\mathbf{H}_{\text{acima}}-\mathbf{H}_{\text{abaixo}}\bigr)=\mathbf{K}=K\,\hat{\mathbf{x}}.
Escrevendo \mathbf{H}_{\text{acima}}-\mathbf{H}_{\text{abaixo}}=\Delta H_x\hat{\mathbf{x}}+\Delta H_y\hat{\mathbf{y}}+\Delta H_z\hat{\mathbf{z}} e fazendo o produto vetorial:
\hat{\mathbf{z}}\times(\Delta H_x\hat{\mathbf{x}}+\Delta H_y\hat{\mathbf{y}})=\Delta H_x(\hat{\mathbf{z}}\times\hat{\mathbf{x}})+\Delta H_y(\hat{\mathbf{z}}\times\hat{\mathbf{y}}) =\Delta H_x\hat{\mathbf{y}}-\Delta H_y\hat{\mathbf{x}}.
Comparando com K\hat{\mathbf{x}} obtemos as equações
-\Delta H_y = K,\qquad \Delta H_x=0.
Isto significa que a descontinuidade está na componente y de \mathbf{H}.
  • Pelo simetria do problema (folha infinita e homogênea), é natural escolher \mathbf{H} constantes em cada região e simétricas em magnitude, ou seja
\mathbf{H}_{\text{acima}}=-\frac{K}{2}\,\hat{\mathbf{y}},\qquad \mathbf{H}_{\text{abaixo}=}\;+\frac{K}{2}\,\hat{\mathbf{y}}.
Verificação rápida: \mathbf{H}_{\text{acima}}-\mathbf{H}_{\text{abaixo}}=-K\,\hat{\mathbf{y}} e então \hat{\mathbf{z}}\times(-K\hat{\mathbf{y}})=K\hat{\mathbf{x}}, que reproduz \mathbf{K}. Portanto as escolhas acima satisfazem a condição de contorno.
  • Numérico: com K=50\\ \mathrm{A/m},
\mathbf{H}_{\text{acima}}=-25\\ \hat{\mathbf{y}}\quad(\mathrm{A/m}), \qquad \mathbf{H}_{\text{abaixo}}=+25\\ \hat{\mathbf{y}}\quad(\mathrm{A/m}).

Passo 4

Relacionando \mathbf{H} com o potencial escalar V_{n} e determinando as expressões de V_{n} em cada região:
  • Em regiões sem corrente volumétrica temos \mathbf{H}=-\nabla V_{n}. Como em cada região \mathbf{H} é constante e só tem componente em y, podemos escrever para a região acima ( z>-2)
\mathbf{H}_{\text{acima}}=H_{\text{acima},y}\,\hat{\mathbf{y}}=-\nabla V_{n}^{(\text{acima})}.
Da igualdade de componentes obtemos
\frac{\partial V_{n}^{(\text{acima})}}{\partial y}=-H_{\text{acima},y}.
Como H_{\text{acima},y} é constante, integramos em y:
V_{n}^{(\text{acima})}=-H_{\text{acima},y}\,y + C_{\text{acima}}.
  • Substituindo H_{\text{acima},y}=-\dfrac{K}{2} (veja Passo 3) temos
V_{n}^{(\text{acima})}=-\bigl(-\tfrac{K}{2}\bigr)y + C_{\text{acima}}=\frac{K}{2}\,y + C_{\text{acima}}.
  • De modo análogo, para a região abaixo ( z<-2) com H_{\text{abaixo},y}=+\dfrac{K}{2} obtemos
V_{n}^{(\text{abaixo})}=-\frac{K}{2}\,y + C_{\text{abaixo}}.
  • Agora usamos a condição dada: V_{n}=0 na origem (0,0,0). A origem tem z=0>-2, ou seja está na região “acima”, portanto
V_{n}^{(\text{acima})}(0,0,0)=\frac{K}{2}\cdot 0 + C_{\text{acima}}=0 \quad\Rightarrow\quad C_{\text{acima}}=0.
Assim a expressão do potencial na região onde está a origem fica simplesmente
V_{n}^{(\text{acima})}=\frac{K}{2}\,y.

Passo 5

Avaliação do potencial no ponto pedido e observações finais:
  • O ponto pedido é (-2,0,5). Tem coordenada z=5 que é maior que -2, portanto o ponto está na região “acima” onde usamos
V_{n}^{(\text{acima})}=\frac{K}{2}\,y.
  • No ponto dado, y=0. Logo
V_{n}\bigl(-2,0,5\bigr)=\frac{K}{2}\cdot 0 = 0.
  • Comentário pedagógico final: apesar de o ponto ter x=-2 e z=5, o potencial escalar que obtivemos depende só de y porque o campo magnético constante que a folha produz aponta na direção y. Se a corrente superficial estivesse em outra direção (por exemplo ao longo de y), o campo ficaria numa direção diferente e o potencial poderia depender de x; aí a resposta mudaria. Mas, com a escolha natural \mathbf{K}=K\hat{\mathbf{x}}, o valor pedido é zero.

Resposta

V_{n}\bigl(-2,0,5\bigr)=0

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