7.33 Determine a densidade de corrente
para
no espaço livre.
Passo 1
Você me deu o potencial vetorial
no espaço livre e pediu a densidade de corrente
. Informações relevantes que já temos do enunciado:
essa componente depende apenas de
(coordenada cilíndrica radial) e existe singularidade óbvia em
. A pergunta é: qual é
no espaço livre associado a esse
?
Passo 2
Qual a relação física que liga
a
? Vou explicar devagar e como você usaria na prova.
- O campo magnético
é obtido a partir do potencial vetorial por
Isso é direto da definição de potencial vetorial magnético.
- Em regime estacionário (magnetostática), a lei de Ampère (no espaço livre, sem corrente deslocamento) diz
onde
é a permeabilidade do vácuo. Portanto, combinando as duas,
Na prática, eu vou primeiro calcular
e depois
.
Passo 3
Vou usar coordenadas cilíndricas
porque
está escrito com
e
. Para lembrar (e você precisa decorar para prova), a fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas para
é:
Explico rápido: cada componente combina derivadas que trocam coordenadas (é análogo à regra em cartesianas, mas com fatores
por causa da base curvilínea).
Passo 4
Identifico as componentes de
a partir do enunciado:
Observação:
depende só de
, não depende de
nem de
. Isso simplifica as derivadas.
Passo 5
Calculo
componente a componente usando as fórmulas do passo anterior.
- Componente
:
- Componente
:
Primeiro calcule. Temos , então
Agora
- Componente
:
Portanto, o campo magnético é
Passo 6
Agora calculo
para obter
. Como
tem só componente
que depende apenas de
, aplico de novo a fórmula do rotacional.
Identifico:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Calcule
. Então
Finalmente
Logo
Passo 7
Aplicando Ampère (
) temos
Isso vale para
. Note que há uma singularidade em
porque
original era singular em
; isso pode corresponder a uma corrente tipo fio na origem que exigiria tratamento com distribuições (função delta) se quiséssemos a descrição completa incluindo a linha
. Para a maior parte das questões de prova, é suficiente dar a
para
e mencionar a singularidade.
Passo 8
Verificação rápida de unidades:
em Wb/m,
traz um fator 1/m, então
fica em Wb/m^{2} (tesla). Outra derivada dá
em A/m^{2} multiplicado por
, consistente com Ampère. Tudo coerente.