7.33 Determine a densidade de corrente \mathbf{J} para
\mathbf{A}=\frac{10}{\rho^{2}} \mathbf{a}_{z} \mathrm{~Wb} / \mathrm{m}
no espaço livre.

Passo 1

Você me deu o potencial vetorial
\mathbf{A}=\frac{10}{\rho^{2}}\mathbf{a}_{z}\\ \text{(Wb/m)}
no espaço livre e pediu a densidade de corrente \mathbf{J}. Informações relevantes que já temos do enunciado:
\mathbf{A}\\ \text{tem só componente}\\ A_{z}=\frac{10}{\rho^{2}},ó
essa componente depende apenas de \rho (coordenada cilíndrica radial) e existe singularidade óbvia em \rho=0. A pergunta é: qual é \mathbf{J} no espaço livre associado a esse \mathbf{A}?

Passo 2

Qual a relação física que liga \mathbf{A} a \mathbf{J}? Vou explicar devagar e como você usaria na prova.
  • O campo magnético \mathbf{B} é obtido a partir do potencial vetorial por
\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}.
Isso é direto da definição de potencial vetorial magnético.
  • Em regime estacionário (magnetostática), a lei de Ampère (no espaço livre, sem corrente deslocamento) diz
\nabla\times\mathbf{B}=\mu_{0}\mathbf{J},
onde \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo. Portanto, combinando as duas,
\mu_{0}\mathbf{J}=\nabla\times\mathbf{B}=\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A}).
Na prática, eu vou primeiro calcular \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A} e depois \mathbf{J}=(1/\mu_{0})\nabla\times\mathbf{B}.

Passo 3

Vou usar coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z) porque \mathbf{A} está escrito com \rho e \mathbf{a}_{z}. Para lembrar (e você precisa decorar para prova), a fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas para \mathbf{A}=A_{\rho}\mathbf{a}_{\rho}+A_{\varphi}\mathbf{a}_{\varphi}+A_{z}\mathbf{a}_{z} é:
(\nabla\times\mathbf{A})_{\rho}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_{z}}{\partial \varphi}-\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial z},
(\nabla\times\mathbf{A})_{\varphi}=\frac{\partial A_{\rho}}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial \rho},
(\nabla\times\mathbf{A})_{z}=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho A_{\varphi})-\frac{\partial A_{\rho}}{\partial \varphi}\right).
Explico rápido: cada componente combina derivadas que trocam coordenadas (é análogo à regra em cartesianas, mas com fatores 1/\rho por causa da base curvilínea).

Passo 4

Identifico as componentes de \mathbf{A} a partir do enunciado:
A_{\rho}=0,\qquad A_{\varphi}=0,\qquad A_{z}=\frac{10}{\rho^{2}}.
Observação: A_{z} depende só de \rho, não depende de \varphi nem de z. Isso simplifica as derivadas.

Passo 5

Calculo \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A} componente a componente usando as fórmulas do passo anterior.
  • Componente \rho:
(\nabla\times\mathbf{A})_{\rho}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_{z}}{\partial \varphi}-\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial z}=0-0=0.
  • Componente \varphi:
    Primeiro calcule \dfrac{\partial A_{z}}{\partial \rho}. Temos A_{z}=10\rho^{-2}, então
\frac{\partial A_{z}}{\partial \rho}=10\cdot(-2)\rho^{-3}=-\frac{20}{\rho^{3}}.
Agora
(\nabla\times\mathbf{A})_{\varphi}=\frac{\partial A_{\rho}}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial \rho}=0- \left(-\frac{20}{\rho^{3}}\right)=\frac{20}{\rho^{3}}.
  • Componente z:
(\nabla\times\mathbf{A})_{z}=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho A_{\varphi})-\frac{\partial A_{\rho}}{\partial \varphi}\right)=\frac{1}{\rho}(0-0)=0.
Portanto, o campo magnético é
\mathbf{B}=\frac{20}{\rho^{3}}\mathbf{a}_{\varphi}.

Passo 6

Agora calculo \nabla\times\mathbf{B} para obter \mu_{0}\mathbf{J}. Como \mathbf{B} tem só componente \varphi que depende apenas de \rho, aplico de novo a fórmula do rotacional.
Identifico:
B_{\rho}=0,\qquad B_{\varphi}=\frac{20}{\rho^{3}},\qquad B_{z}=0.
  • Componente \rho:
(\nabla\times\mathbf{B})_{\rho}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial B_{z}}{\partial \varphi}-\frac{\partial B_{\varphi}}{\partial z}=0-0=0.
  • Componente \varphi:
(\nabla\times\mathbf{B})_{\varphi}=\frac{\partial B_{\rho}}{\partial z}-\frac{\partial B_{z}}{\partial \rho}=0-0=0.
  • Componente z:
(\nabla\times\mathbf{B})_{z}=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho B_{\varphi})-\frac{\partial B_{\rho}}{\partial \varphi}\right)=\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\big(\rho B_{\varphi}\big).
Calcule \rho B_{\varphi}=\rho\cdot\frac{20}{\rho^{3}}=\frac{20}{\rho^{2}}. Então
\frac{d}{d\rho}\big(\rho B_{\varphi}\big)=\frac{d}{d\rho}\left(\frac{20}{\rho^{2}}\right)=20\cdot(-2)\rho^{-3}=-\frac{40}{\rho^{3}}.
Finalmente
(\nabla\times\mathbf{B})_{z}=\frac{1}{\rho}\left(-\frac{40}{\rho^{3}}\right)=-\frac{40}{\rho^{4}}.
Logo
\nabla\times\mathbf{B}=-\frac{40}{\rho^{4}}\mathbf{a}_{z}.

Passo 7

Aplicando Ampère ( \nabla\times\mathbf{B}=\mu_{0}\mathbf{J}) temos
\mathbf{J}=\frac{1}{\mu_{0}}\nabla\times\mathbf{B}=-\frac{40}{\mu_{0}\rho^{4}}\mathbf{a}_{z}.
Isso vale para \rho>0. Note que há uma singularidade em \rho=0 porque \mathbf{A} original era singular em \rho=0; isso pode corresponder a uma corrente tipo fio na origem que exigiria tratamento com distribuições (função delta) se quiséssemos a descrição completa incluindo a linha \rho=0. Para a maior parte das questões de prova, é suficiente dar a \mathbf{J} para \rho>0 e mencionar a singularidade.

Passo 8

Verificação rápida de unidades: \mathbf{A} em Wb/m, \nabla\times traz um fator 1/m, então \mathbf{B} fica em Wb/m^{2} (tesla). Outra derivada dá \mathbf{J} em A/m^{2} multiplicado por 1/\mu_0, consistente com Ampère. Tudo coerente.

Resposta

\displaystyle \mathbf{J}=-\frac{40}{\mu_{0}\,\rho^{4}}\mathbf{a}_{z}\quad(\rho>0).

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