*7.35 Uma linha de transmissảo coaxial é construsda tal que o raio do condutor interno é a e os raios do condutor externo săo
e
. Determine o potencial magnético vetorial dentro do condutor externo. Assuma
para
.
Passo 1
O enunciado dá uma linha coaxial com:
raio do condutor interno igual a
😉
condutor externo que é um cilindro oco com raios internos e externos iguais a
e
.)
Pede-se: determinar o potencial magnético vetorial dentro do condutor externo, isto é para
.)
Foi dada a condição de contorno em
.
Pede-se: determinar o potencial magnético vetorial dentro do condutor externo, isto é para
Foi dada a condição de contorno
Observação importante (assunção explícita, porque o enunciado não especifica a distribuição de corrente dentro do material do condutor externo): assumiremos corrente contínua estacionária
fluindo ao longo do eixo no condutor interno (no sentido
) e a corrente de retorno
distribuída uniformemente no volume do casquilho do condutor externo entre
e
. Ou seja, densidade de corrente no casquilho é uniforme e a corrente total no casquilho é
. Esta é uma suposição padrão em exercícios desse tipo; se a distribuição fosse outra (por exemplo, corrente apenas nas superfícies), a resposta mudaria.
Passo 2
Vamos achar a densidade de corrente volumétrica
no material do condutor externo (uniforme, por hipótese). A área transversal do casquilho é
Como a corrente total no casquilho é
, a densidade de corrente volumétrica (axial) é
Aqui
tem sinal negativo porque é sentido oposto à corrente
do condutor interno.
Passo 3
Para aplicar a Lei de Ampère e obter o campo magnético, precisamos do corrente total encoberta por uma amperiana circular de raio
, com
. A corrente encoberta
é soma da corrente inteira do condutor interno (que vale
) e da parcela da corrente do casquilho entre
e
. Essa parcela vale
multiplicado pela área anular até
:
Portanto
Substituindo
obtemos
Simplificando:
Passo 4
Pela Lei de Ampère (simetria azimutal), o campo magnético tem só componente azimutal
e satisfaz
Substituindo
achamos, para
,
Comentário físico rápido: o campo é azimutal porque correntes axiais geram linhas de campo circular em torno do eixo; a dependência com
vem do fator
típico e do fato de que parte da corrente de retorno ainda está fora da amperiana.
Passo 5
Agora relacionamos o campo magnético com o potencial vetorial. Vamos escolher o potencial vetorial na forma puramente axial, ou seja
Para um campo com essa simetria (independente de
e
) vale a relação (em coordenadas cilíndricas)
Explicando:
. Se
então o único componente não nulo de
é o componente azimutal dado por
. Note o sinal: aumento de
com
produz
negativo, compatível com a orientação de
.
Passo 6
Usamos a relação anterior para escrever uma equação diferencial para
:
Integramos entre
(onde foi dado
) e um raio genérico
em
:
Como
,
Vamos calcular a integral explicitamente:
Avaliada entre
e
dá
Substituindo de volta em
:
Passo 7
Agora simplificamos a expressão para ficar mais elegante. Multiplicando e organizando os termos:
Uma forma compacta é:
Verificação rápida: em
o parêntese fica
e, portanto,
, conforme a condição de contorno imposta.