*7.35 Uma linha de transmissảo coaxial é construsda tal que o raio do condutor interno é a e os raios do condutor externo săo 3 a e 4 a. Determine o potencial magnético vetorial dentro do condutor externo. Assuma A_{z}=0 para \rho=3 a.

Passo 1

O enunciado dá uma linha coaxial com:
raio do condutor interno igual a \,a 😉
condutor externo que é um cilindro oco com raios internos e externos iguais a \,3a e \,4a .)
Pede-se: determinar o potencial magnético vetorial dentro do condutor externo, isto é para \,3a \le \rho \le 4a .)
Foi dada a condição de contorno \,A_{z}=0 em \rho=3a .
Observação importante (assunção explícita, porque o enunciado não especifica a distribuição de corrente dentro do material do condutor externo): assumiremos corrente contínua estacionária \,I fluindo ao longo do eixo no condutor interno (no sentido +z) e a corrente de retorno -I distribuída uniformemente no volume do casquilho do condutor externo entre \rho=3a e \rho=4a. Ou seja, densidade de corrente no casquilho é uniforme e a corrente total no casquilho é -I. Esta é uma suposição padrão em exercícios desse tipo; se a distribuição fosse outra (por exemplo, corrente apenas nas superfícies), a resposta mudaria.

Passo 2

Vamos achar a densidade de corrente volumétrica \,j no material do condutor externo (uniforme, por hipótese). A área transversal do casquilho é
\pi(4a)^{2}-\pi(3a)^{2}=\pi a^{2}(16-9)=7\pi a^{2}.
Como a corrente total no casquilho é -I, a densidade de corrente volumétrica (axial) é
j=\frac{-I}{7\pi a^{2}}.
Aqui \,j tem sinal negativo porque é sentido oposto à corrente \,I do condutor interno.

Passo 3

Para aplicar a Lei de Ampère e obter o campo magnético, precisamos do corrente total encoberta por uma amperiana circular de raio \rho, com 3a\le\rho\le4a. A corrente encoberta \,I_{\text{enc}}(\rho) é soma da corrente inteira do condutor interno (que vale \,I) e da parcela da corrente do casquilho entre \rho'=3a e \rho'=\rho. Essa parcela vale j multiplicado pela área anular até \rho:
I_{\text{casquilho}}(\rho)=j\cdot \pi\bigl(\rho^{2}-(3a)^{2}\bigr).
Portanto
I_{\text{enc}}(\rho)=I + j\pi\bigl(\rho^{2}-9a^{2}\bigr).
Substituindo j obtemos
I_{\text{enc}}(\rho) = I - \frac{I}{7\pi a^{2}}\pi\bigl(\rho^{2}-9a^{2}\bigr) = I\!\left(1-\frac{\rho^{2}-9a^{2}}{7a^{2}}\right).
Simplificando:
I_{\text{enc}}(\rho)=I\frac{16a^{2}-\rho^{2}}{7a^{2}}.

Passo 4

Pela Lei de Ampère (simetria azimutal), o campo magnético tem só componente azimutal \,B_{\varphi}(\rho) e satisfaz
B_{\varphi}(\rho)=\frac{\mu_{0}I_{\text{enc}}(\rho)}{2\pi\rho}.
Substituindo I_{\text{enc}}(\rho) achamos, para 3a\le\rho\le4a,
B_{\varphi}(\rho)=\frac{\mu_{0}I}{2\pi\rho}\cdot\frac{16a^{2}-\rho^{2}}{7a^{2}}.
Comentário físico rápido: o campo é azimutal porque correntes axiais geram linhas de campo circular em torno do eixo; a dependência com \rho vem do fator 1/\rho típico e do fato de que parte da corrente de retorno ainda está fora da amperiana.

Passo 5

Agora relacionamos o campo magnético com o potencial vetorial. Vamos escolher o potencial vetorial na forma puramente axial, ou seja
\mathbf{A}=A_{z}(\rho)\,\hat{\mathbf{z}}.
Para um campo com essa simetria (independente de \varphi e z) vale a relação (em coordenadas cilíndricas)
B_{\varphi}(\rho)=-\frac{dA_{z}}{d\rho}.
Explicando: \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}. Se \mathbf{A}=A_{z}(\rho)\hat{\mathbf{z}} então o único componente não nulo de \mathbf{B} é o componente azimutal dado por -dA_{z}/d\rho. Note o sinal: aumento de A_{z} com \rho produz B_{\varphi} negativo, compatível com a orientação de \hat{\boldsymbol{\varphi}}.

Passo 6

Usamos a relação anterior para escrever uma equação diferencial para A_{z}:
\frac{dA_{z}}{d\rho}=-B_{\varphi}(\rho)=-\frac{\mu_{0}I}{2\pi\rho}\cdot\frac{16a^{2}-\rho^{2}}{7a^{2}}.
Integramos entre \rho'=3a (onde foi dado \,A_{z}(3a)=0) e um raio genérico \rho em [3a,4a]:
A_{z}(\rho)-A_{z}(3a)=\int_{3a}^{\rho}\frac{dA_{z}}{d\rho'}\,d\rho' =-\frac{\mu_{0}I}{2\pi 7a^{2}}\int_{3a}^{\rho}\frac{16a^{2}-{\rho'}^{2}}{\rho'}\,d\rho'.
Como A_{z}(3a)=0,
A_{z}(\rho)=-\frac{\mu_{0}I}{14\pi a^{2}}\int_{3a}^{\rho}\!\biggl(\frac{16a^{2}}{{\rho'}}-{\rho'}\biggr)\,d\rho'.
Vamos calcular a integral explicitamente:
\int\!\biggl(\frac{16a^{2}}{{\rho'}}-{\rho'}\biggr)\,d\rho' =16a^{2}\ln\rho' - \frac{{\rho'}^{2}}{2}.
Avaliada entre 3a e \rho
16a^{2}\ln\!\frac{\rho}{3a}-\frac{\rho^{2}}{2}+\frac{(3a)^{2}}{2}.
Substituindo de volta em A_{z}:
A_{z}(\rho)=-\frac{\mu_{0}I}{14\pi a^{2}}\Biggl(16a^{2}\ln\!\frac{\rho}{3a}-\frac{\rho^{2}}{2}+\frac{9a^{2}}{2}\Biggr).

Passo 7

Agora simplificamos a expressão para ficar mais elegante. Multiplicando e organizando os termos:
A_{z}(\rho) =\frac{\mu_{0}I}{28\pi a^{2}}\rho^{2}-\frac{8\mu_{0}I}{7\pi}\ln\!\frac{\rho}{3a}-\frac{9\mu_{0}I}{28\pi}.
Uma forma compacta é:
A_{z}(\rho)=\frac{\mu_{0}I}{28\pi}\Biggl(\frac{\rho^{2}}{a^{2}}-32\ln\!\frac{\rho}{3a}-9\Biggr), \qquad 3a\le\rho\le4a.
Verificação rápida: em \rho=3a o parêntese fica \,9-32\ln1-9=0 e, portanto, A_{z}(3a)=0, conforme a condição de contorno imposta.

Resposta

A_{z}(\rho)=\frac{\mu_{0}I}{28\pi}\Biggl(\frac{\rho^{2}}{a^{2}}-32\ln\!\frac{\rho}{3a}-9\Biggr),\qquad 3a\le\rho\le4a.

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