37- Em um show de heavy metal (metal pesado) a platéia “dança” com uma distribuição de rapidez dada por
com a rapidez
dada em
. Para ajudar nas contas, observe que
3, e que
e
.
Qual é a porcentagem de pessoas que dançam com rapidez média acima de
?
Qual é o valor da rapidez mais provável?
3, e que
Qual é a porcentagem de pessoas que dançam com rapidez média acima de
Qual é o valor da rapidez mais provável?
Passo 1
O enunciado dá a densidade de velocidades da plateia como
com a rapidez
em
. O enunciado também fornece uma primitiva e a derivada de
:
As perguntas são:
- Qual é a porcentagem de pessoas que dançam com rapidez média acima de
? - Qual é o valor da rapidez mais provável (modo do pdf)?
Informações relevantes listadas:
-
é uma função densidade de probabilidade para (velocidades não negativas). -
é uma primitiva de : . -
fornece a derivada de , útil para localizar máximos/minimos.
Passo 2
Entendendo como obter a probabilidade de
.
Se tem densidade
, a função distribuição acumulada (CDF) é
Se
Como nos deram uma primitiva
tal que
, podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo:
Queremos
. Note que
Calcule
. Usamos a primitiva dada:
Logo
Portanto
Interpretação:
das pessoas dançam com rapidez acima de
.
Passo 3
Explicando o conceito de rapidez mais provável (modo).
O modo de uma distribuição contínua é o valor de onde a densidade
atinge seu máximo. Para encontrar máximos interiores fazemos:
O modo de uma distribuição contínua é o valor de
- achar pontos críticos resolvendo
, - verificar se nesses pontos a derivada muda de positiva para negativa (máximo) ou analisar o sinal de
ou o segundo derivado.
Já temos
. Zerar
equivale a zerar o numerador (denominador nunca é zero para
real):
Como consideramos apenas
, tomamos
Para garantir que é um máximo: verifique o comportamento de
. Para
pequeno (por exemplo
) temos
(derivada positiva), e para
grande o numerador
é negativo, então
. Assim a derivada passa de positiva para negativa em
, caracterizando um máximo local — que aqui é o máximo global porque
e
quando
. Portanto o modo é
.
Passo 4
Cálculo numérico aproximado do modo (para intuição rápida):
Resumo das ideias usadas (curto):
- Usei a primitiva
para calcular integrais de sem integrar manualmente. - Usei
para localizar pontos críticos e a mudança de sinal de para identificar máximo.