37- Em um show de heavy metal (metal pesado) a platéia “dança” com uma distribuição de rapidez dada por f(v)=2 v(1+v 2) 2 com a rapidez v dada em \mathrm{m} / \mathrm{s}. Para ajudar nas contas, observe que F(v)=-1(1+v 2), g(v)=(2-6 v 2)(1+v 2)
3, e que F^{\prime}(v)=f(v) e f^{\prime}(v)=g(v).
Qual é a porcentagem de pessoas que dançam com rapidez média acima de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?
Qual é o valor da rapidez mais provável?

Passo 1

O enunciado dá a densidade de velocidades da plateia como
f(v)=\frac{2v}{(1+v^{2})^{2}},
com a rapidez v em \mathrm{m/s}. O enunciado também fornece uma primitiva e a derivada de f:
F(v)=-\frac{1}{1+v^{2}},\qquad f'(v)=g(v)=\frac{2-6v^{2}}{(1+v^{2})^{3}}.
As perguntas são:
  1. Qual é a porcentagem de pessoas que dançam com rapidez média acima de 1\\ \mathrm{m/s}?
  2. Qual é o valor da rapidez mais provável (modo do pdf)?
Informações relevantes listadas:
  • f(v) é uma função densidade de probabilidade para v\ge 0 (velocidades não negativas).
  • F(v) é uma primitiva de f: F'(v)=f(v).
  • f'(v)=g(v) fornece a derivada de f, útil para localizar máximos/minimos.

Passo 2

Entendendo como obter a probabilidade de V>1.
Se V tem densidade f, a função distribuição acumulada (CDF) é
\Pr(V\le v)=\int_{0}^{v} f(t)\,dt.
Como nos deram uma primitiva F tal que F'(t)=f(t), podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{a}^{b} f(t)\,dt = F(b)-F(a).
Queremos \Pr(V>1). Note que
\Pr(V>1)=1-\Pr(V\le 1).
Calcule \Pr(V\le 1)=\int_{0}^{1} f(t)\,dt = F(1)-F(0). Usamos a primitiva dada:
F(1)=-\frac{1}{1+1^{2}}=-\frac{1}{2},\qquad F(0)=-\frac{1}{1+0^{2}}=-1.
Logo
\Pr(V\le 1)=F(1)-F(0)=-\frac{1}{2}-(-1)=\frac{1}{2}.
Portanto
\Pr(V>1)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
Interpretação: 50\% das pessoas dançam com rapidez acima de 1\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Explicando o conceito de rapidez mais provável (modo).
O modo de uma distribuição contínua é o valor de v onde a densidade f(v) atinge seu máximo. Para encontrar máximos interiores fazemos:
  1. achar pontos críticos resolvendo f'(v)=0,
  2. verificar se nesses pontos a derivada muda de positiva para negativa (máximo) ou analisar o sinal de f'(v) ou o segundo derivado.
Já temos f'(v)=g(v)=\dfrac{2-6v^{2}}{(1+v^{2})^{3}}. Zerar f'(v) equivale a zerar o numerador (denominador nunca é zero para v real):
2-6v^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad v^{2}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.
Como consideramos apenas v\ge 0, tomamos
v=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Para garantir que é um máximo: verifique o comportamento de f'(v). Para v pequeno (por exemplo v=0) temos f'(0)=\dfrac{2}{1}>0 (derivada positiva), e para v grande o numerador 2-6v^{2} é negativo, então f'(v)<0. Assim a derivada passa de positiva para negativa em v=1/\sqrt{3}, caracterizando um máximo local — que aqui é o máximo global porque f(0)=0 e f(v)\to 0 quando v\to\infty. Portanto o modo é v=1/\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Cálculo numérico aproximado do modo (para intuição rápida):
\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,577\\ \mathrm{m/s}.
Resumo das ideias usadas (curto):
  • Usei a primitiva F para calcular integrais de f sem integrar manualmente.
  • Usei f'(v) para localizar pontos críticos e a mudança de sinal de f' para identificar máximo.

Resposta

50\%
\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{m/s} (aprox. 0,577\\ \mathrm{m/s})

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