Dado um sistema em contato com um “banho térmico” que fixa a temperatura em um certo valor
distribuição de Boltzmann fornece a probabilidade de encontrar esse sistema com uma energia E. Essa probabilidade é
, em que
é o número de microestados do sistema com energia E , o termo
é chamado de fator de Boltzmann e A é uma “constante de normalização”, que garante que a soma de
sobre todos os valores possíveis de E seja igual a 1 .
Para as questões abaixo (de 1 a 3), considerem um único oscilador de Einstein em “banho térmico”.
Passo 1
O enunciado fornecido diz que, para um sistema em contato com um banho térmico à temperatura
, a distribuição de Boltzmann dá a probabilidade de o sistema ter energia
como
onde
é o número de microestados com energia
, o fator
é o fator de Boltzmann, e
é uma constante de normalização que garante
.
O enunciado também diz: “Para as questões abaixo (de 1 a 3), considerem um único oscilador de Einstein em ‘banho térmico’.” Porém, o texto que eu recebi não contém as perguntas 1, 2 e 3. Portanto, não há perguntas específicas fornecidas para eu responder diretamente.
Vou então:
- Explicar detalhadamente a teoria e as contas que normalmente resolvem qualquer questão padrão sobre um oscilador de Einstein em banho térmico (partição, probabilidade de ocupação de níveis, energia média, etc.), de modo que você possa aplicar passo a passo às perguntas 1–3 caso sejam uma das formas usuais dessas questões.
- No final direi que não é possível fornecer respostas às perguntas específicas porque elas não foram enviadas.
Passo 2
O que é o oscilador de Einstein e seus níveis de energia (passo didático):
- Um oscilador harmônico quântico (modelo de Einstein) tem níveis de energia quantizados dados por
onde:
-
é a constante de Planck reduzida, -
é a frequência do oscilador, -
é o número quântico (número de fótons/fônons excitados no modo). - Cada nível
geralmente tem degenerescência (um único microestado por nível ) para o oscilador simples.
Explicação intuitiva: o oscilador só pode ter energias específicas, espaçadas por
. O termo
é a energia de ponto zero.
Passo 3
Constante de normalização
e função partição (por que
):
- A normalização exige
- Como
, escrevemos
- Definimos a função partição (constante que normaliza) como
- Portanto
e
Comentário:
é a constante de Boltzmann. Costuma-se também introduzir
para simplificar notação.
Passo 4
Cálculo explícito da função partição
para o oscilador de Einstein:
- Substituindo
temos
- A soma é uma série geométrica com razão
e soma pois . - Logo
- Observação prática: muitas vezes, para simplificar cálculos térmicos, subtrai-se a energia de ponto zero (ou seja, define-se a energia zero deslocada), mas a fórmula acima está correta incluindo a energia de ponto zero.
Passo 5
Probabilidade de ocupação do nível
(fórmula final para
):
- Usando
e o calculado,
- Isso é intuitivo: a distribuição sobre
é geométrica em ; a probabilidade do estado fundamental ( ) é
- Note que a presença da energia de ponto zero cancela no fator dependente de
— ela só afeta o fator global que já entrou em .
Passo 6
Energia média
do oscilador (derivação passo a passo):
- Método elegante: a energia média pode ser obtida por derivada da partição,
- Calcule
:
- Derivando em relação a
:
- Simplificando o segundo termo usando
, com , obtemos a forma muito usada:
- Interpretação das parcelas:
-
é a energia de ponto zero (presente mesmo a ). -
é a contribuição térmica (média de excitações).
-
Passo 7
Número médio de quanta
e relação com
:
- Definindo
como a média do (número de quanta),
- Para a distribuição geométrica encontrada, usa-se a soma padrão que resulta em
- Relação com
:
- Observação física:
segue a distribuição de Bose-Einstein para ocupação de um modo.
Passo 8
Limites físico-intuitivos (como usar em prova para checar):
- Alto temperatura (
, ou ): - Expandindo
, com , obtemos
- Resultado: no limite clássico a energia média do oscilador harmônico tende a
(equipartição: duas contribuições quadráticas somam ).
- Expandindo
- Baixa temperatura (
, ou ): -
grande, então pequeno e
-
Passo 9
Capacidade térmica e variação da energia (útil em exercícios):
- Calor específico (capacidade térmica) do oscilador:
- Usando
e fazendo a derivada, obtém-se a forma habitual
ou, mais comumente expressa como
- Limites:
em altas temperaturas (por oscilador ter energia média ) e exponencialmente em baixas temperaturas.
Passo 10
Resumo prático — receita para resolver questões típicas do tipo 1–3:
- Se pedirem a probabilidade de encontrar energia
: use
- Se pedirem a constante de normalização
: ela é com
- Se pedirem energia média: use
- Se pedirem
(média de quanta):
- Se pedirem calor específico: derive
e use a fórmula do Passo 9.
Passo 11
Observação final sobre impossibilidade de responder as perguntas 1–3:
- Como as perguntas numeradas 1, 2 e 3 não foram fornecidas no enunciado que você me enviou, não posso escrever respostas específicas para elas aqui.
- Entretanto, com todas as fórmulas e passos acima você tem tudo o que normalmente é pedido em questões sobre um oscilador de Einstein em banho térmico, e pode aplicar diretamente aos enunciados 1–3 assim que os tiver.
Resposta
Não é possível fornecer as respostas às questões 1 a 3 porque o enunciado não contém as perguntas 1, 2 e 3; acima estão as fórmulas e o passo a passo geral (partição, probabilidades, energia média, etc.) que permitem resolver qualquer uma das questões usuais sobre um oscilador de Einstein em banho térmico.