Dado um sistema em contato com um “banho térmico” que fixa a temperatura em um certo valor \mathrm{T}, \mathbf{a} distribuição de Boltzmann fornece a probabilidade de encontrar esse sistema com uma energia E. Essa probabilidade é \mathrm{P}(\mathrm{E})=\mathrm{A} \Omega(\mathrm{E}) \exp (-\mathrm{EkbT}), em que \Omega(\mathrm{E}) é o número de microestados do sistema com energia E , o termo \exp (-\mathrm{EkBT}) é chamado de fator de Boltzmann e A é uma “constante de normalização”, que garante que a soma de \mathrm{P}(\mathrm{E}) sobre todos os valores possíveis de E seja igual a 1 .
Para as questões abaixo (de 1 a 3), considerem um único oscilador de Einstein em “banho térmico”.

Passo 1

O enunciado fornecido diz que, para um sistema em contato com um banho térmico à temperatura \mathrm{T}, a distribuição de Boltzmann dá a probabilidade de o sistema ter energia \mathrm{E} como
P(E) = A\,\Omega(E)\,\exp\!\big(-E/(k_B T)\big),
onde \Omega(E) é o número de microestados com energia E, o fator \exp(-E/(k_B T)) é o fator de Boltzmann, e A é uma constante de normalização que garante \sum_E P(E)=1.
O enunciado também diz: “Para as questões abaixo (de 1 a 3), considerem um único oscilador de Einstein em ‘banho térmico’.” Porém, o texto que eu recebi não contém as perguntas 1, 2 e 3. Portanto, não há perguntas específicas fornecidas para eu responder diretamente.
Vou então:
  • Explicar detalhadamente a teoria e as contas que normalmente resolvem qualquer questão padrão sobre um oscilador de Einstein em banho térmico (partição, probabilidade de ocupação de níveis, energia média, etc.), de modo que você possa aplicar passo a passo às perguntas 1–3 caso sejam uma das formas usuais dessas questões.
  • No final direi que não é possível fornecer respostas às perguntas específicas porque elas não foram enviadas.

Passo 2

O que é o oscilador de Einstein e seus níveis de energia (passo didático):
  • Um oscilador harmônico quântico (modelo de Einstein) tem níveis de energia quantizados dados por
E_n = \big(n+\tfrac{1}{2}\big)\hbar\omega,\qquad n=0,1,2,\dots
onde:
  • \hbar é a constante de Planck reduzida,
  • \omega é a frequência do oscilador,
  • n é o número quântico (número de fótons/fônons excitados no modo).
  • Cada nível E_n geralmente tem degenerescência \Omega(E_n)=1 (um único microestado por nível n) para o oscilador simples.
Explicação intuitiva: o oscilador só pode ter energias específicas, espaçadas por \hbar\omega. O termo \tfrac12\hbar\omega é a energia de ponto zero.

Passo 3

Constante de normalização A e função partição (por que A=1/Z):
  • A normalização exige
\sum_{n=0}^{\infty} P(E_n) = 1.
  • Como \Omega(E_n)=1, escrevemos
P(E_n)=A\,e^{-E_n/(k_B T)}.
  • Definimos a função partição (constante que normaliza) como
Z \equiv \sum_{n=0}^{\infty} e^{-E_n/(k_B T)}.
  • Portanto A = 1/Z e
P(E_n)=\frac{e^{-E_n/(k_B T)}}{Z}.
Comentário: \;k_B é a constante de Boltzmann. Costuma-se também introduzir \beta \equiv 1/(k_B T) para simplificar notação.

Passo 4

Cálculo explícito da função partição Z para o oscilador de Einstein:
  • Substituindo E_n = (n+\tfrac12)\hbar\omega temos
Z = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-\beta (n+\tfrac12)\hbar\omega} = e^{-\beta \hbar\omega/2}\sum_{n=0}^{\infty} \big(e^{-\beta\hbar\omega}\big)^n.
  • A soma é uma série geométrica com razão r=e^{-\beta\hbar\omega} e soma \sum_{n=0}^\infty r^n = 1/(1-r) pois |r|<1.
  • Logo
Z = \frac{e^{-\beta\hbar\omega/2}}{1 - e^{-\beta\hbar\omega}}.
  • Observação prática: muitas vezes, para simplificar cálculos térmicos, subtrai-se a energia de ponto zero (ou seja, define-se a energia zero deslocada), mas a fórmula acima está correta incluindo a energia de ponto zero.

Passo 5

Probabilidade de ocupação do nível n (fórmula final para P_n):
  • Usando P_n = e^{-\beta E_n}/Z e o Z calculado,
P_n = \frac{e^{-\beta (n+\tfrac12)\hbar\omega}}{e^{-\beta\hbar\omega/2}/(1-e^{-\beta\hbar\omega})} = \big(1 - e^{-\beta\hbar\omega}\big)\,e^{-n\beta\hbar\omega}.
  • Isso é intuitivo: a distribuição sobre n é geométrica em e^{-\beta\hbar\omega}; a probabilidade do estado fundamental ( n=0) é
P_0 = 1 - e^{-\beta\hbar\omega}.
  • Note que a presença da energia de ponto zero cancela no fator dependente de n — ela só afeta o fator global e^{-\beta\hbar\omega/2} que já entrou em Z.

Passo 6

Energia média \langle E\rangle do oscilador (derivação passo a passo):
  • Método elegante: a energia média pode ser obtida por derivada da partição,
\langle E\rangle = -\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}.
  • Calcule \ln Z:
\ln Z = -\frac{\beta\hbar\omega}{2} - \ln\big(1 - e^{-\beta\hbar\omega}\big).
  • Derivando em relação a \beta:
-\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta} = \frac{\hbar\omega}{2} + \frac{\hbar\omega\,e^{-\beta\hbar\omega}}{1 - e^{-\beta\hbar\omega}}.
  • Simplificando o segundo termo usando \dfrac{e^{-x}}{1-e^{-x}} = \dfrac{1}{e^{x}-1}, com x=\beta\hbar\omega, obtemos a forma muito usada:
\langle E\rangle = \frac{\hbar\omega}{2} + \frac{\hbar\omega}{e^{\beta\hbar\omega} - 1}.
  • Interpretação das parcelas:
    • \tfrac12\hbar\omega é a energia de ponto zero (presente mesmo a T=0).
    • \dfrac{\hbar\omega}{e^{\beta\hbar\omega}-1} é a contribuição térmica (média de excitações).

Passo 7

Número médio de quanta \langle n\rangle e relação com \langle E\rangle:
  • Definindo \langle n\rangle como a média do n (número de quanta),
\langle n\rangle = \sum_{n=0}^\infty n\,P_n.
  • Para a distribuição geométrica encontrada, usa-se a soma padrão que resulta em
\langle n\rangle = \frac{1}{e^{\beta\hbar\omega} - 1}.
  • Relação com \langle E\rangle:
\langle E\rangle = \hbar\omega\Big(\tfrac{1}{2} + \langle n\rangle\Big).
  • Observação física: \langle n\rangle segue a distribuição de Bose-Einstein para ocupação de um modo.

Passo 8

Limites físico-intuitivos (como usar em prova para checar):
  • Alto temperatura ( \;k_B T \gg \hbar\omega, ou \beta\hbar\omega \ll 1):
    • Expandindo 1/(e^{x}-1)\approx 1/x - 1/2 + \dots, com x=\beta\hbar\omega, obtemos
    \langle E\rangle \approx \frac{\hbar\omega}{2} + \hbar\omega\Big(\frac{1}{\beta\hbar\omega} - \tfrac12\Big) = \frac{1}{\beta} = k_B T.
    • Resultado: no limite clássico a energia média do oscilador harmônico tende a k_B T (equipartição: duas contribuições quadráticas somam k_B T).
  • Baixa temperatura ( \;k_B T \ll \hbar\omega, ou \beta\hbar\omega \gg 1):
    • e^{\beta\hbar\omega} grande, então \langle n\rangle \approx e^{-\beta\hbar\omega} pequeno e
    \langle E\rangle \approx \frac{\hbar\omega}{2} \quad (\text{energia de ponto zero}).

Passo 9

Capacidade térmica e variação da energia (útil em exercícios):
  • Calor específico (capacidade térmica) do oscilador:
C = \frac{\partial\langle E\rangle}{\partial T}.
  • Usando \beta = 1/(k_B T) e fazendo a derivada, obtém-se a forma habitual
C = k_B \left(\frac{\beta\hbar\omega}{2\operatorname{sinh}(\beta\hbar\omega/2)}\right)^2,
ou, mais comumente expressa como
C = k_B \left(\frac{\hbar\omega}{k_B T}\right)^2 \frac{e^{\beta\hbar\omega}}{(e^{\beta\hbar\omega}-1)^2}.
  • Limites: C\to k_B em altas temperaturas (por oscilador ter energia média k_B T) e C\to 0 exponencialmente em baixas temperaturas.

Passo 10

Resumo prático — receita para resolver questões típicas do tipo 1–3:
  • Se pedirem a probabilidade de encontrar energia E_n: use
P_n = \big(1 - e^{-\beta\hbar\omega}\big)\,e^{-n\beta\hbar\omega}.
  • Se pedirem a constante de normalização A: ela é A=1/Z com
Z = \frac{e^{-\beta\hbar\omega/2}}{1-e^{-\beta\hbar\omega}}.
  • Se pedirem energia média: use
\langle E\rangle = \frac{\hbar\omega}{2} + \frac{\hbar\omega}{e^{\beta\hbar\omega}-1}.
  • Se pedirem \langle n\rangle (média de quanta):
\langle n\rangle = \frac{1}{e^{\beta\hbar\omega}-1}.
  • Se pedirem calor específico: derive \partial\langle E\rangle/\partial T e use a fórmula do Passo 9.

Passo 11

Observação final sobre impossibilidade de responder as perguntas 1–3:
  • Como as perguntas numeradas 1, 2 e 3 não foram fornecidas no enunciado que você me enviou, não posso escrever respostas específicas para elas aqui.
  • Entretanto, com todas as fórmulas e passos acima você tem tudo o que normalmente é pedido em questões sobre um oscilador de Einstein em banho térmico, e pode aplicar diretamente aos enunciados 1–3 assim que os tiver.

Resposta

Não é possível fornecer as respostas às questões 1 a 3 porque o enunciado não contém as perguntas 1, 2 e 3; acima estão as fórmulas e o passo a passo geral (partição, probabilidades, energia média, etc.) que permitem resolver qualquer uma das questões usuais sobre um oscilador de Einstein em banho térmico.

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