37 Use a continuidade para calcular o limite.
ll lim x 4 5+raizxraiz5+x & lim x pi sen(x+sen x) lim x 1 e^x^2-x & lim x 2 arctg(x^2-43 x^2-6 x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular quatro limites de funções elementares usando o fato de que, se uma função é contínua num ponto, o limite ao se aproximar desse ponto é simplesmente o valor da função nele. Vamos usar continuidade e, quando necessário, simplificar algébrica\mente antes de substituir x pelo valor-limite.

Passo 2

Calcular limxto45+raizxraiz5+x.
As funções raizx e raiz5+x são contínuas em x=4, então basta substituir:
raiz4=2, raiz5+4=raiz9=3
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limxto45+raizxraiz5+x =5+23 =73

Passo 3

Calcular limxtopisinl(x+sin xr).
A função sin é contínua e a soma também, então substituímos x=pi:
sin(pi)=0,
x+sin xl|x=pi=pi+0=pi,
limxtopisinl(x+sin xr)=sin(pi)=0

Passo 4

Calcular limxto1e^,x^2-x.
A exponencial é contínua em qualquer ponto, então basta colocar x=1 no expoente:
x^2-xl|x=1=1-1=0,
limxto1e^,x^2-x=e^0=1

Passo 5

Calcular limxto2arctan!gl(x^2-43x^2-6xgr).
Primeiro simplificamos a fração para xneq2:
x^2-43x^2-6x =(x-2)(x+2)3x(x-2) =x+23x
Como arctan é contínua, substituímos x=2 em tfracx+23x:
2+23cdot2=46=23,
limxto2arctan!gl(x^2-43x^2-6xgr) =arctan!l(tfrac23r)

Resposta

limxto45+raizxraiz5+x=73, limxtopisinl(x+sin xr)=0,
limxto1e^,x^2-x=1, limxto2arctan!l(tfracx^2-43x^2-6xr) =arctan!l(tfrac23r)

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