Limite de quociente que simplifica
Para limxto3x^2+x-12x-3=7, note que para xneq3
x^2+x-12x-3 =(x-3)(x+4)x-3=x+4
Como o limite de x+4 em xto3 é 7, definimos, dado varepsilon>0:
l|(x+4)-7r|=|x-3|<varepsilon
Logo basta
de<a4=varepsilon
Passo 4
Limites de identidade e de constante 1. limxto ax=a. Dado varepsilon>0, temos |x-a|<varepsilon se tomarmos de<a5=varepsilon. 2. limxto ac=c. Aqui |c-c|=0<varepsilon para qualquer varepsilon>0, então podemos escolher, por exemplo, de<a6=1.
Passo 5
Limites que vão a zero com potência ou valor absoluto 1. limxto0x^2=0. Temos l|x^2-0r|=|x|^2. Para |x|<1 satisfaz |x|^2<|x|. Logo basta escolher de<a7=min(1,raizvarepsilon). 2. limxto0x^3=0. Aqui l|x^3r|=|x|^3 e, se |x|<1, então |x|^3<|x|. Basta de<a8=minl(1,raiz[3]varepsilonr) 3. limxto0|x|=0. Temos l||x|-0r|=|x|, então tomamos de<a9=varepsilon.
Passo 6
Limite à esquerda de uma raiz
Para limxto9^-raiz[4]9-x=0, notamos que, para x<9,
l|raiz[4]9-x-0r|=(9-x)^1/4
Queremos (9-x)^1/4<varepsilon, isto é 9-x<varepsilon^4 ou x>9-varepsilon^4. Logo basta tomar
de<a10=minl(1,varepsilon^4r),
garantindo que 0<9-x<de<a10implies(9-x)^1/4<varepsilon.
Passo 7
Limites de polinômios gerais 1. limxto2(x^2-4x+5)=1. Reescreva
|x^2-4x+5-1|=|(x-2)^2|=|x-2|^2,
e use o mesmo truque do passo 5: para |x-2|<1, |x-2|^2<|x-2|. Logo de<a11=min(1,raizvarepsilon). 2. limxto3(x^2+x-4)=8. Aqui
|x^2+x-4-8|=|x^2+x-12|=|(x-3)(x+4)|=|x-3|,|x+4|
Se restringirmos |x-3|<1, então 2<x<4 e |x+4|<=8. Assim
|f(x)-8|<=8,|x-3|<varepsilon
sempre que |x-3|<varepsilon/8. Portanto de<a12=min(1,varepsilon/8).
Resposta
Demonstramos cada limite usando a definição epsilon–de<a, apresentando explicitamente a escolha de de<a em função de varepsilon.