Demonstre cada afirmação usando a definição varepsilon, de<a de limite
30 .
lim x 3 x5=35
lim x 6(x4+3)=92
lim x -5(4-3 x5)=7
lim x 3 x^2+x-12x-3=7
lim x a x=a
lim x a c=c
lim x 0 x^2=0
lim x 0 x^3=0
lim x 0|x|=0
lim x 9^- raiz[4]9-x=0
lim x 2(x^2-4 x+5)=1
lim x 3(x^2+x-4)=8

Passo 1

O que vamos usar em todas as provas é a definição epsilon de<a de limite: dizer que
limxto af(x)=L
significa que, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<de<a, temos |f(x)-L|<varepsilon. A seguir aplicamos esse esquema a cada função listada.

Passo 2

Provas dos limites de funções afins
1. Para limxto3x5=35:
Dado varepsilon>0, note que
gl|x5-35gr| =15,|x-3|
Para garantir tfrac15|x-3|<varepsilon basta escolher
de<a1=5varepsilon
2. Para limxto6l(x4+3r)=92:
Dado varepsilon>0,
l|tfracx4+3-tfrac92r| =l|tfracx4-tfrac32r| =14,|x-6|
Logo basta tomar
de<a2=4varepsilon
3. Para limxto-5l(4-3x5r)=7:
Dado varepsilon>0,
l|4-tfrac3x5-7r| =l|-tfrac3x5-3r| =35,|x+5|
Assim basta escolher
de<a3=53,varepsilon

Passo 3

Limite de quociente que simplifica
Para limxto3x^2+x-12x-3=7, note que para xneq3
x^2+x-12x-3 =(x-3)(x+4)x-3=x+4
Como o limite de x+4 em xto3 é 7, definimos, dado varepsilon>0:
l|(x+4)-7r|=|x-3|<varepsilon
Logo basta
de<a4=varepsilon

Passo 4

Limites de identidade e de constante
1. limxto ax=a. Dado varepsilon>0, temos |x-a|<varepsilon se tomarmos de<a5=varepsilon.
2. limxto ac=c. Aqui |c-c|=0<varepsilon para qualquer varepsilon>0, então podemos escolher, por exemplo, de<a6=1.

Passo 5

Limites que vão a zero com potência ou valor absoluto
1. limxto0x^2=0. Temos l|x^2-0r|=|x|^2. Para |x|<1 satisfaz |x|^2<|x|. Logo basta escolher
de<a7=min(1,raizvarepsilon).
2. limxto0x^3=0. Aqui l|x^3r|=|x|^3 e, se |x|<1, então |x|^3<|x|. Basta
de<a8=minl(1,raiz[3]varepsilonr) 3. limxto0|x|=0. Temos l||x|-0r|=|x|, então tomamos de<a9=varepsilon.

Passo 6

Limite à esquerda de uma raiz
Para limxto9^-raiz[4]9-x=0, notamos que, para x<9,
l|raiz[4]9-x-0r|=(9-x)^1/4
Queremos (9-x)^1/4<varepsilon, isto é 9-x<varepsilon^4 ou x>9-varepsilon^4. Logo basta tomar
de<a10=minl(1,varepsilon^4r),
garantindo que 0<9-x<de<a10implies(9-x)^1/4<varepsilon.

Passo 7

Limites de polinômios gerais
1. limxto2(x^2-4x+5)=1. Reescreva
|x^2-4x+5-1|=|(x-2)^2|=|x-2|^2,
e use o mesmo truque do passo 5: para |x-2|<1, |x-2|^2<|x-2|. Logo
de<a11=min(1,raizvarepsilon).
2. limxto3(x^2+x-4)=8. Aqui
|x^2+x-4-8|=|x^2+x-12|=|(x-3)(x+4)|=|x-3|,|x+4|
Se restringirmos |x-3|<1, então 2<x<4 e |x+4|<=8. Assim
|f(x)-8|<=8,|x-3|<varepsilon
sempre que |x-3|<varepsilon/8. Portanto
de<a12=min(1,varepsilon/8).

Resposta

Demonstramos cada limite usando a definição epsilon de<a, apresentando explicitamente a escolha de de<a em função de varepsilon.

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