Calcule os limites abaixo ou mostre que eles não existem:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando x→0 e y>0 (y é um parâmetro fixo e positivo). O conteúdo principal é limite envolvendo produto de x com uma função limitada, e vamos usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Encapsulamento).
Passo 2
Observamos que a função seno é sempre limitada entre –1 e 1. Em termos matemáticos, para qualquer valor de (x,y) temos:
[ -1 \le \sin\bigl(\tfrac{1}{x{2}+y{2}}\bigr) \le 1 ]
[ -1 \le \sin\bigl(\tfrac{1}{x{2}+y{2}}\bigr) \le 1 ]
Passo 3
Multiplicando essa desigualdade por x (note que quando x→0, x pode ser positivo ou negativo, mas usaremos o valor absoluto para o confronto), obtemos:
[ -|x| \le x,\sin\bigl(\tfrac{1}{x{2}+y{2}}\bigr) \le |x| ]
[ -|x| \le x,\sin\bigl(\tfrac{1}{x{2}+y{2}}\bigr) \le |x| ]
Passo 4
Já sabemos que
tende a 0 quando x→0. Pelo Teorema do Confronto, a função x
sin(1/(x²+y²)) também deve tender a 0.
Portanto, o limite existe e vale 0.
sin(1/(x²+y²)) também deve tender a 0.
Portanto, o limite existe e vale 0.
Resposta
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