9.36 Determine \Delta_{\text {mis }} G, \Delta_{\text {mis }} V, \Delta_{\text {mis }} S e \Delta_{\text {mis }} H para o processo de mistura de 100,0 \mathrm{~g} de benzeno com 100,0 \mathrm{~g} de tolueno a 20^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm. Admita uma solução ideal.

Passo 1

O enunciado pede os quatro grandezas termoquímicas referentes ao processo de mistura (indicado por subíndice \text{mis}) quando misturamos \(100,0\\ \mathrm{g}) de benzeno com \(100,0\\ \mathrm{g}) de tolueno a \(20^\circ\mathrm{C}) e \(1\\ \mathrm{atm}), assumindo solução ideal.
Informações dadas (vou listar exatamente o que temos):
\text{massa do benzeno } m_{\mathrm{Bz}} = 100{,}0\\ \mathrm{g}
\text{massa do tolueno } m_{\mathrm{Tol}} = 100{,}0\\ \mathrm{g}
T = 20^\circ\mathrm{C} = 293{,}15\\ \mathrm{K}
P = 1\\ \mathrm{atm}
Assumo massas molares padrão (necessárias para converter massa → mol):
M_{\mathrm{Bz}} = 78{,}11\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}
M_{\mathrm{Tol}} = 92{,}14\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}
O que o enunciado pergunta:
  • \Delta_{\text{mis}} G (variação de energia livre de Gibbs na mistura),
  • \Delta_{\text{mis}} V (variação de volume na mistura),
  • \Delta_{\text{mis}} S (variação de entropia na mistura),
  • \Delta_{\text{mis}} H (variação de entalpia na mistura).
Nenhuma outra informação (como volumes individuais) foi fornecida; como é solução ideal, aplicaremos as fórmulas padrão de mistura ideal.

Passo 2

Calcular número de mols de cada componente (muito importante: sempre que houver massas, primeiro converta para mols para usar leis termodinâmicas). A fórmula é
n = \frac{m}{M}
onde n é número de mols, m é massa e M é massa molar.
Para o benzeno:
n_{\mathrm{Bz}} = \frac{100{,}0\\ \mathrm{g}}{78{,}11\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}} = 1{,}2806\\ \mathrm{mol}
Para o tolueno:
n_{\mathrm{Tol}} = \frac{100{,}0\\ \mathrm{g}}{92{,}14\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}} = 1{,}0849\\ \mathrm{mol}
Número total de mols:
n_{\text{tot}} = n_{\mathrm{Bz}} + n_{\mathrm{Tol}} = 2{,}3655\\ \mathrm{mol}
Explicação curta: eu dividi massa pela massa molar para obter mols; mantenha pelo menos 4 casas significativas no meio dos cálculos e arredonde no final.

Passo 3

Calcular frações molares de cada componente. Definição:
x_i = \frac{n_i}{n_{\text{tot}}}
Calculando:
Para o benzeno:
x_{\mathrm{Bz}} = \frac{1{,}2806}{2{,}3655} = 0{,}5413
Para o tolueno:
x_{\mathrm{Tol}} = \frac{1{,}0849}{2{,}3655} = 0{,}4587
Verificação rápida: x_{\mathrm{Bz}}+x_{\mathrm{Tol}} = 1{,}0000 (atenção a pequenos erros de arredondamento).
Comentário didático: as frações molares servem nas fórmulas de mistura porque entropia livre e entropia de mistura dependem das probabilidades relativas (mole fractions) das partículas.

Passo 4

Apresentar as fórmulas para uma solução ideal (aqui eu explico cada uma e o que significam as variáveis):
  1. Entropia de mistura para solução ideal:
\Delta_{\text{mis}} S = - n R \sum_{i} x_i \ln x_i
  • n é o número total de mols ( n_{\text{tot}}),
  • R é a constante dos gases ideais, R = 8{,}3145\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}},
  • x_i são as frações molares,
  • ln é o logaritmo natural.
Interpretação: a mistura aumenta a entropia porque distribuições mais “misturadas” têm maior desordem; a soma -\sum x_i \ln x_i é sempre positiva quando 0<x_i<1.
  1. Energia livre de Gibbs de mistura (para solução ideal, a energia livre de mistura decorre somente da entropia ideal):
\Delta_{\text{mis}} G = n R T \sum_{i} x_i \ln x_i
Observação: como \sum x_i \ln x_i é negativo, \Delta_{\text{mis}} G será negativo (mistura espontânea), e nota-se que
\Delta_{\text{mis}} G = \Delta_{\text{mis}} H - T \Delta_{\text{mis}} S.
Para solução ideal \Delta_{\text{mis}} H = 0 (não há calor trocado ao misturar idealmente), daí \Delta_{\text{mis}} G = -T \Delta_{\text{mis}} S, que é consistente com a fórmula acima.
  1. Para solução ideal também temos:
\Delta_{\text{mis}} H = 0
\Delta_{\text{mis}} V = 0
Significado: na solução ideal as interações entre diferentes moléculas são iguais às interações entre iguais, então não há calor de mistura e os volumes são aditivos (sem variação de volume).

Passo 5

Calcular numericamente \Delta_{\text{mis}} S usando a fórmula do passo anterior. Primeiro compute a soma -\sum x_i \ln x_i:
Calcule \ln x_i:
\ln x_{\mathrm{Bz}} = \ln(0{,}5413) = -0{,}6138
\ln x_{\mathrm{Tol}} = \ln(0{,}4587) = -0{,}7794
Agora a soma ponderada:
-\sum_i x_i \ln x_i = -\big( x_{\mathrm{Bz}}\ln x_{\mathrm{Bz}} + x_{\mathrm{Tol}}\ln x_{\mathrm{Tol}}\big)
= -\big(0{,}5413\cdot(-0{,}6138) + 0{,}4587\cdot(-0{,}7794)\big)
= 0{,}5413\cdot0{,}6138 + 0{,}4587\cdot0{,}7794 = 0{,}3325 + 0{,}3574 = 0{,}6899
Agora aplique a fórmula:
\Delta_{\text{mis}} S = n R \times 0{,}6899
onde n = 2{,}3655\\ \mathrm{mol} e R = 8{,}3145\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}. Calcule:
nR = 2{,}3655 \times 8{,}3145 = 19{,}667\\ \mathrm{J\;K^{-1}}
\Delta_{\text{mis}} S = 19{,}667 \times 0{,}6899 = 13{,}57\\ \mathrm{J\;K^{-1}}
Explicação didática: a entropia de mistura tem unidade \mathrm{J\;K^{-1}} e mede o ganho de desordem ao misturar. Esse valor positivo confirma que a mistura aumenta a entropia.

Passo 6

Calcular \Delta_{\text{mis}} G usando a relação direta ou usando \Delta_{\text{mis}} G = -T \Delta_{\text{mis}} S. Vou usar a expressão direta também para clareza:
\Delta_{\text{mis}} G = n R T \sum_i x_i \ln x_i
Já temos \sum_i x_i \ln x_i = -0{,}6899. Então
nRT = nR \times T = 19{,}667\\ \mathrm{J\;K^{-1}} \times 293{,}15\\ \mathrm{K} = 5{,}765{,}8\\ \mathrm{J}
Agora
\Delta_{\text{mis}} G = 5{,}765{,}8 \times (-0{,}6899) = -3{,}977{,}8\\ \mathrm{J}
Arredondando convenientemente:
\Delta_{\text{mis}} G = -3{,}98\times 10^{3}\\ \mathrm{J} = -3{,}98\\ \mathrm{kJ}
Verificação pela relação \Delta_{\text{mis}} G = -T\Delta_{\text{mis}} S:
-T\Delta_{\text{mis}} S = -293{,}15\times 13{,}57 = -3{,}977{,}8\\ \mathrm{J}
confere com o resultado acima (mesma coisa, bom sinal).
Comentário didático: o sinal negativo de \Delta_{\text{mis}} G indica espontaneidade da mistura sob essas condições (ou seja, misturar é favorável termodinamicamente).

Passo 7

Determinar \Delta_{\text{mis}} H e \Delta_{\text{mis}} V. Para solução ideal as propriedades padrão dizem:
  • Não há entalpia de mistura:
\Delta_{\text{mis}} H = 0
Explicação: em solução ideal, as energias de interação entre pares diferentes são iguais à média das interações entre pares iguais, então não há calor trocado na mistura.
  • Não há variação de volume de mistura:
\Delta_{\text{mis}} V = 0
Explicação: volumes são aditivos em solução ideal; misturar não altera volume.

Resposta

\Delta_{\text{mis}} G = -3{,}98\\ \mathrm{kJ}
\Delta_{\text{mis}} V = 0
\Delta_{\text{mis}} S = 13{,}57\\ \mathrm{J\;K^{-1}}
\Delta_{\text{mis}} H = 0

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