38) Aceleração própria

Uma partícula é observada num referencial inercial S, instantaneamente com velocidade v ao longo do eixo x. Considere um segundo referencial inercial S^{\prime}, deslocando-se ao longo do eixo x e acompanhando momentaneamente a partícula com velocidade v. Suponha que, do ponto de vista de S^{\prime} a partícula ganhe um acréscimo de velocidade \Delta v^{\prime}, ao longo do eixo x^{\prime}.
a) Escreva a velocidade final da partícula, V^{+} \Delta V, no referencial S em termos de \Delta V^{\prime}.
b) Mostre que no limite de um acréscimo infinitesimal de velocidade, temos v^{+} d v=v+\left(1-v^{2} / c^{2}\right) d v^{\prime}.
c) Suponha que o acréscimo infinitesimal de velocidade, observado do ponto de vista do referencial S^{\prime} que momentaneamente acompanha a partícula, seja dado por d v^{\prime}=g d t^{\prime}=g d \tau. Nesse caso g representa a aceleração vista do ponto de vista de S^{\prime}, ou da partícula, e d t^{\prime} coincide com o acréscimo d \tau no tempo próprio da partícula. Mostre que d v=\gamma^{-2} g d \tau, onde \gamma \equiv\left(1-v^{2} / c^{2}\right)^{-1 / 2}.
d) Mostre que a aceleração a=d v / d t, observada do ponto de vista de S, é dada por a=\gamma^{-3} g. A aceleração g, sentida do ponto de vista da partícula, é o invariante que representa a norma da quadriaceleração \boldsymbol{a} \equiv d \boldsymbol{V} / d \tau. Essa aceleração própria é percebida pelo corpo a ela submetido como equivalente a um campo gravitacional de valor igual a g, mas de sentido contrário ao da aceleração do corpo observada em S^{\prime}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (sem resolver nada ainda).
  • Dados do enunciado:
    • Há um referencial inercial S.
    • Em certo instante a partícula tem velocidade v ao longo do eixo x vista por S.
    • Existe um segundo referencial inercial S' que se desloca ao longo de x com velocidade v em relação a S, de modo que, no instante considerado, S' “acompanha” momentaneamente a partícula (naquele instante a partícula está momentaneamente em repouso em S').
    • Do ponto de vista de S' a partícula ganha um acréscimo de velocidade \Delta v' ao longo do eixo x'. No item (c) esse acréscimo infinitesimal será escrito como d v' = g\,d t' = g\,d\tau, onde g é a aceleração própria e d\tau o tempo próprio.
  • O que o enunciado pede:
    a) Escrever a velocidade final da partícula, vista em S, em termos de \Delta v'.
    b) Mostrar que, no limite infinitesimal, vale \;v + d v = v + \left(1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\right)d v'\; (ou, mais diretamente, d v=(1-v^{2}/c^{2})\,d v').
    c) Assumindo d v' = g\,d\tau, mostrar que d v=\gamma^{-2} g\,d\tau, com \gamma\equiv\left(1-v^{2}/c^{2}\right)^{-1/2}.
    d) Mostrar que a aceleração medida em S, a\equiv d v/d t, é a=\gamma^{-3} g. Também interpretar g como aceleração própria (norma da quadriaceleração).

Passo 2

Apresento a fórmula relativística de adição de velocidades (ensinando o que cada símbolo significa) — isto é uma ferramenta que vamos usar.
  • Situação geral: temos um referencial S' que se move em relação a S com velocidade v ao longo do eixo x. Uma partícula tem velocidade u'_x medida em S' (projeção ao longo do eixo comum). A fórmula de transformação de velocidades (com o movimento colinear, só eixo x) dá a velocidade u_x medida em S como
u_x = \frac{u'_x + v}{1 + \dfrac{v\,u'_x}{c^2}}.
  • Explicação dos termos:
    • u'_x é a velocidade da partícula medida em S' (no eixo x').
    • v é a velocidade do eixo x' do referencial S' em relação a S (a mesma direção).
    • c é a velocidade da luz.
  • Por que essa fórmula? Breve intuição didática: na relatividade as velocidades não somam simplesmente porque os tempos e comprimentos se misturam entre referenciais; a razão forma essa fração que impede ultrapassar c e reduz à soma clássica quando v, u'_x \ll c.

Passo 3

Aplicação desse resultado ao caso do enunciado (resposta do item a).
  • No instante considerado, a partícula está momentaneamente em repouso em S', depois ela ganha \Delta v' medido em S'. Então, imediatamente após, a velocidade da partícula em S' é
u'_x = \Delta v'.
  • Usando a fórmula de adição, a velocidade final da partícula medida em S (chamo-a de v^{+} ou v+\Delta v) é
v^{+} \equiv v+\Delta v = \frac{\Delta v' + v}{1 + \dfrac{v\,\Delta v'}{c^2}}.
  • Comentário prático para prova: sempre identifique qual é a velocidade do referencial (aqui v) e qual é a velocidade medida no referencial móvel (aqui \Delta v'); aplique a fórmula acima diretamente.

Passo 4

Passo para o item (b): fazer a aproximação para incremento infinitesimal e linearizar (explicando passo a passo).
  • Começamos da expressão exata do passo anterior:
v + d v = \frac{v + d v'}{1 + \dfrac{v\,d v'}{c^2}},
onde substituí \Delta v' por d v' e \Delta v por d v (infinitesimais).
  • Quando d v' é infinitesimal, o produto v\,d v'/c^2 também é infinitesimal. Podemos usar a expansão de primeira ordem
\frac{1}{1+\epsilon} \approx 1-\epsilon \quad\text{para small }\epsilon.
Aqui \epsilon=\dfrac{v\,d v'}{c^2}.
  • Multiplicando e mantendo apenas termos de ordem até d v' (descartando (d v')^2 e ordens superiores):
v + d v \approx (v + d v')\left(1 - \dfrac{v\,d v'}{c^2}\right).
Agora desenvolvo o produto e desprezo (d v')^2:
v + d v \approx v + d v' - v\cdot\frac{v\,d v'}{c^2} - \underbrace{d v'\cdot\frac{v\,d v'}{c^2}}_{O((d v')^2)\approx0}.
Ou seja
v + d v \approx v + \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)d v'.
  • Subtraindo v dos dois lados obtemos a forma mais direta:
d v = \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)d v'.
  • Observação didática: essa é uma linearização em torno do instante em que o referencial S' acompanha a partícula. Em prova, explique que mantivemos apenas termos lineares em d v'.

Passo 5

Interpretação da relação do item (b) e escrita em termos de \gamma.
  • Definindo \gamma\equiv\left(1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{-1/2}, tem-se 1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}=\gamma^{-2}.
  • Portanto a relação do item (b) pode ser escrita como
d v = \gamma^{-2} \, d v'.
  • Esse é um resultado útil: o incremento de velocidade medido em S é reduzido pelo fator \gamma^{-2} em relação ao incremento medido no instante no referencial instantaneamente com a partícula.

Passo 6

Item (c): usar d v' = g\,d t' = g\,d\tau para obter d v=\gamma^{-2} g\,d\tau.
  • O enunciado informa que, do ponto de vista de S' que acompanha a partícula, o acréscimo infinitesimal de velocidade é
d v' = g\,d t',
e que, porque S' é exatamente o referencial instantaneamente em repouso da partícula, d t' coincide com o incremento do tempo próprio d\tau da partícula; logo
d v' = g\,d\tau.
  • Substituindo essa expressão na relação do passo anterior d v = \gamma^{-2} d v', obtemos
d v = \gamma^{-2} \, g\, d\tau.
  • Comentário físico: g é a aceleração medida no referencial instantaneamente em repouso da partícula — é a aceleração “sentida” pela partícula (aceleração própria).

Passo 7

Preparação para o item (d): relação entre tempos coordenado t (em S) e tempo próprio \tau e como obter a=dv/dt.
  • Em relatividade especial, o tempo coordenado t medido em S e o tempo próprio d\tau do objeto estão relacionados pela dilatação de tempo:
d t = \gamma\, d\tau,
onde \gamma=\left(1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{-1/2}. (Explicação curta: relógio próprio marca d\tau; observador S vê esse intervalo dilatado por \gamma.)
  • Para calcular a aceleração observada em S,
a \equiv \frac{d v}{d t} = \frac{d v/d\tau}{d t/d\tau}.
Isso é uma regra de derivação por mudança de variável: derivada em t obtém-se dividindo derivada em \tau por d t/d\tau.

Passo 8

Cálculo explícito do item (d) e conclusão final.
  • A partir do passo (6) temos
\frac{d v}{d\tau} = \gamma^{-2} g.
  • E do passo (7) temos d t/d\tau = \gamma.
  • Portanto
a=\frac{d v}{d t} = \frac{d v/d\tau}{d t/d\tau} = \frac{\gamma^{-2} g}{\gamma} = \gamma^{-3} g.
  • Conclusão: a aceleração medida em S (ou seja, a razão entre dv e o tempo coordenado dt) é reduzida pelo fator \gamma^{-3} em relação à aceleração própria g.

Passo 9

Breve comentário físico final (didático, para fixar o conceito de aceleração própria).
  • Aceleração própria g é a aceleração medida no referencial instantaneamente em repouso da partícula; ela é a aceleração “sentida” (por exemplo pela força sentida em um acelerador).
  • g corresponde à norma (módulo) da quadriaceleração \boldsymbol{a}\equiv d\boldsymbol{V}/d\tau (a “quadriaceleração” é o análogo 4D da aceleração, derivada da quadri-velocidade em relação ao tempo próprio). No instante em que a partícula está em repouso no referencial instantâneo, a quadriaceleração espacial tem módulo g, logo esse valor é invariante (mesmo em outros referenciais o módulo da quadriaceleração é g).
  • Em palavras: o observador que estiver “montado” na partícula sente uma força equivalente a um campo gravitacional de intensidade g (princípio da equivalência local), enquanto um observador em S mede uma aceleração menor dada por \gamma^{-3} g.

Resposta

a) \displaystyle v^{+}=v+\Delta v=\frac{v+\Delta v'}{1+\dfrac{v\,\Delta v'}{c^{2}}}.
b) \displaystyle v+d v = v + \left(1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\right)d v'\quad (equivalente a \;d v=(1-v^{2}/c^{2})\,d v'=\gamma^{-2}d v'.)
c) \displaystyle d v=\gamma^{-2}\,g\,d\tau.
d) \displaystyle a=\frac{d v}{d t}=\gamma^{-3}g.

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