6.14 As lâminas de um ventilador giram com velocidade angular dada por \omega_{z}=Y \beta t^{2}, onde Y=5,0 \mathrm{rad} / \mathrm{s} e \beta=0,800 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2}. a. Calcule a aceleração angular em função do tempo. b. Calcule a aceleração angular instantânea \alpha para \mathrm{t}=3,0 \mathrm{~s} e a aceleração angular média \alpha_{\mathrm{m}} para o intervalo de tempo de \mathrm{t}=0 até \mathrm{t}=3,0 \mathrm{~s}. (Resposta: a. -1,6 . \mathrm{t}; b. -4,8 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2} e -2,4 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2} )

Passo 1

O enunciado nos dá a velocidade angular das lâminas como \omega_z = Y - \beta t^{2} (estou usando o sinal menos porque os resultados esperados indicam decaimento), com os valores:
  • Y = 5,0\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}
  • \beta = 0,800\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}^{2}
O enunciado pede:
  • (a) calcular a aceleração angular em função do tempo, isto é \alpha(t);
  • (b) calcular (i) a aceleração angular instantânea \alpha em t=3,0\\ \mathrm{s} e (ii) a aceleração angular média \alpha_{\mathrm{m}} no intervalo de t=0 até t=3,0\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Definição e regra que vamos usar: a aceleração angular instantânea \alpha(t) é a derivada temporal da velocidade angular \omega(t),
\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt}.
Regra de derivação usada: a derivada de uma constante é zero e a derivada de t^{n} é n\,t^{n-1}. Em particular, \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)=2t.
Aplicando isso à expressão \omega_z = Y - \beta t^{2}:
\alpha(t)=\frac{d}{dt}\bigl(Y\bigr)-\frac{d}{dt}\bigl(\beta t^{2}\bigr)=0-\beta\cdot 2t=-2\beta t.
Agora substituímos o valor numérico de \beta:
\alpha(t)=-2\cdot(0,800)\,t=-1,6\,t\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}^{2}.
Comentário didático: o sinal negativo indica que a velocidade angular está diminuindo com o tempo (aceleração angular apontando no sentido que reduz \omega).

Passo 3

A aceleração angular instantânea em t=3,0\\ \mathrm{s} é obtida só substituindo t=3,0 em \alpha(t):
\alpha(3,0)=-1,6\cdot 3,0 = -4,8\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}^{2}.
Interpretação curta: naquele instante as lâminas estão diminuindo sua velocidade angular a uma taxa de 4,8\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}^{2}.

Passo 4

Agora a aceleração angular média \alpha_{\mathrm{m}} entre t_{1}=0 e t_{2}=3,0\\ \mathrm{s} é definida por
\alpha_{\mathrm{m}}=\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\frac{\omega(t_{2})-\omega(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}.
Calculamos \omega(0) e \omega(3,0) usando \omega(t)=Y-\beta t^{2}:
\omega(0)=Y-\beta\cdot 0^{2}=5,0\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s},
\omega(3,0)=5,0-\;0,800\cdot(3,0)^{2}=5,0-0,800\cdot 9=5,0-7,2=-2,2\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}.
Portanto
\Delta\omega=\omega(3,0)-\omega(0)=-2,2-5,0=-7,2\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s},
e como \Delta t=3,0-0=3,0\\ \mathrm{s},
\alpha_{\mathrm{m}}=\frac{-7,2}{3,0}=-2,4\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}^{2}.
Comentário didático: \alpha_{\mathrm{m}} é a variação média da velocidade angular por unidade de tempo no intervalo; é diferente da aceleração instantânea em t=3{,}0\\ \mathrm{s} porque \alpha(t) varia com o tempo.

Resposta

a. \displaystyle \alpha(t)=-1,6\,t\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}^{2}\n
b. \displaystyle \alpha(3,0)=-4,8\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}^{2}\n
\displaystyle \alpha_{\mathrm{m}}=-2,4\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}^{2}

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