6.14 As lâminas de um ventilador giram com velocidade angular dada por
, onde
e
. a. Calcule a aceleração angular em função do tempo. b. Calcule a aceleração angular instantânea
para
e a aceleração angular média
para o intervalo de tempo de
até
. (Resposta: a.
; b.
e
)
Passo 1
O enunciado nos dá a velocidade angular das lâminas como
(estou usando o sinal menos porque os resultados esperados indicam decaimento), com os valores:
O enunciado pede:
- (a) calcular a aceleração angular em função do tempo, isto é
; - (b) calcular (i) a aceleração angular instantânea
em e (ii) a aceleração angular média no intervalo de até .
Passo 2
Definição e regra que vamos usar: a aceleração angular instantânea
é a derivada temporal da velocidade angular
,
Regra de derivação usada: a derivada de uma constante é zero e a derivada de
é
. Em particular,
.
Aplicando isso à expressão
:
Agora substituímos o valor numérico de
:
Comentário didático: o sinal negativo indica que a velocidade angular está diminuindo com o tempo (aceleração angular apontando no sentido que reduz
).
Passo 3
A aceleração angular instantânea em
é obtida só substituindo
em
:
Interpretação curta: naquele instante as lâminas estão diminuindo sua velocidade angular a uma taxa de
.
Passo 4
Agora a aceleração angular média
entre
e
é definida por
Calculamos
e
usando
:
Portanto
e como
,
Comentário didático:
é a variação média da velocidade angular por unidade de tempo no intervalo; é diferente da aceleração instantânea em
porque
varia com o tempo.
Resposta
a.
\n
b. \n
b.