39) Quadriforça

A quadriforça é definida como \mathfrak{F} \equiv d \mathscr{P} / d \tau, sendo \tau o tempo próprio. Além disso, para o quadrimomento de uma partícula, temos as relações:
\mathscr{P} \equiv m \boldsymbol{V}=[E / c, \mathbf{p}] e \mathscr{P}^{2} \equiv \mathscr{P} \cdot \mathscr{P}=m c^{2}.
a) Mostre que a quadriforça pode ser escrita como \mathfrak{F}=\gamma[P / c, \mathbf{F}]. Nessa expressão definimos a potência P \equiv d E / d t e a força \mathbf{F} \equiv d \mathbf{p} / d t da mesma maneira que na mecânica newtoniana.
b) Mostre que a quadriforça pode ser escrita como \mathfrak{F}=m \boldsymbol{U}, sendo \boldsymbol{U} \equiv d \boldsymbol{V} / d \tau a quadriaceleração (probl. 37 e 38).
c) Mostre que \mathcal{F} \cdot \mathcal{P}=0, isto é, esses quadrivetores são ortogonais. Como \mathscr{P} é tipo tempo, \mathscr{F} deverá ser tipo espaço.
d) Mostre que a quadrivelocidade \boldsymbol{v} \equiv d \boldsymbol{R} / d \tau=\gamma[c, \boldsymbol{v}] também é ortogonal à quadriforça, ou seja, \mathcal{F} \cdot \mathcal{V}=0. A partir desse resultado mostre a conhecida expressão da mecânica: P=\mathbf{F} \cdot \boldsymbol{V}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Dados (pego do enunciado):
    • A quadriforça é \mathfrak{F}\equiv d\mathscr{P}/d\tau, com \tau tempo próprio.
    • O quadrimomento é \mathscr{P}\equiv m\boldsymbol{V}=[E/c,\mathbf{p}].
    • Há a relação invariante (constante) do quadrimomento: \mathscr{P}\cdot\mathscr{P}=m^{2}c^{2} (o enunciado escreve uma forma equivalente).
    • Definições canônicas: potência P\equiv dE/dt e força \mathbf{F}\equiv d\mathbf{p}/dt.
    • A quadrivelocidade é \boldsymbol{V}\equiv d\boldsymbol{R}/d\tau=\gamma[c,\mathbf{v}], onde \gamma\equiv 1/\sqrt{1-\mathbf{v}^{2}/c^{2}}.
  • O que é pedido:
    (a) Mostrar que \mathfrak{F}=\gamma\big[P/c,\mathbf{F}\big].
    (b) Mostrar que \mathfrak{F}=m\boldsymbol{U}, com \boldsymbol{U}\equiv d\boldsymbol{V}/d\tau.
    (c) Mostrar que \mathcal{F}\cdot\mathcal{P}=0 (ou seja, \mathfrak{F} é ortogonal a \mathscr{P}) e concluir que \mathfrak{F} é tipo espaço.
    (d) Mostrar que \mathcal{F}\cdot\mathcal{V}=0 (ortogonalidade entre quadriforça e quadrivelocidade) e, a partir disso, obter P=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}.

Passo 2

Primeiro resultado (a): escrever \mathfrak{F} em termos de P e \mathbf{F}.
  • Lembrete útil sobre derivadas por \tau e por t: a relação entre tempo de referência t e tempo próprio \tau para a partícula é
    d\tau = \frac{dt}{\gamma},
    logo, aplicando cadeia,
    \frac{d}{d\tau}=\gamma\frac{d}{dt}.
    Aqui \gamma é a usual \gamma\equiv 1/\sqrt{1-\mathbf{v}^{2}/c^{2}}. Isso é fundamental: derivar em \tau equivale a multiplicar por \gamma a derivada em t.
  • Agora aplico essa regra à definição da quadriforça:
    \mathfrak{F}=\frac{d\mathscr{P}}{d\tau} =\frac{d}{d\tau}\bigg[\frac{E}{c},\,\mathbf{p}\bigg] =\gamma\frac{d}{dt}\bigg[\frac{E}{c},\,\mathbf{p}\bigg].
  • Derivando componente a componente em t obtemos
    \mathfrak{F}=\gamma\bigg[\frac{1}{c}\frac{dE}{dt},\;\frac{d\mathbf{p}}{dt}\bigg] =\gamma\bigg[\frac{P}{c},\;\mathbf{F}\bigg],
    que é exatamente o que se pedia mostrar. Aqui usei explicitamente que P=dE/dt e \mathbf{F}=d\mathbf{p}/dt.

Passo 3

Segundo resultado (b): escrever \mathfrak{F} como m\boldsymbol{U}.
  • Parto da identidade dada \mathscr{P}=m\boldsymbol{V}. Assumo que m é a massa de repouso e é constante (hipótese padrão em partículas sem troca de massa).
  • Derivando em \tau obtemos \mathfrak{F}=\frac{d\mathscr{P}}{d\tau}=\frac{d}{d\tau}\big(m\boldsymbol{V}\big)=m\frac{d\boldsymbol{V}}{d\tau}.
  • Definindo a quadriaceleração \boldsymbol{U}\equiv d\boldsymbol{V}/d\tau, fica imediatamente \mathfrak{F}=m\boldsymbol{U},que é a forma pedida. Observação: se a massa fosse variável (caso não usual aqui), haveria um termo extra; mas para massa de repouso constante a expressão acima é válida.

Passo 4

Terceiro resultado (c): mostrar \mathcal{F}\cdot\mathcal{P}=0 e interpretar tipo espaço.
  • Use a invariância do quadrimomento: \mathscr{P}\cdot\mathscr{P}=m^{2}c^{2}, quantidade constante ao longo da trajetória. (Essa é a norma do quadrimomento.)
  • Derive ambos os lados em relação a \tau. Como o lado direito é constante, sua derivada é zero. Pela regra do produto das derivadas em produto escalar:
    \frac{d}{d\tau}\big(\mathscr{P}\cdot\mathscr{P}\big) =2\,\mathscr{P}\cdot\frac{d\mathscr{P}}{d\tau}=0.
  • Como \dfrac{d\mathscr{P}}{d\tau}=\mathfrak{F}, segue
    \mathscr{P}\cdot\mathfrak{F}=0.
    Ou seja, \mathcal{F}\cdot\mathcal{P}=0: os dois quadrivetores são ortogonais.
  • Interpretação de tipo: \mathscr{P} é timelike (norma positiva \mathscr{P}\cdot\mathscr{P}=m^{2}c^{2}>0 com a convenção de métrica (+,-,-,-)). Um quadrivetor ortogonal a um vetor timelike não pode ser timelike (exceto o vetor nulo), portanto \mathfrak{F} é do tipo espaço (ou possivelmente nulo se não houver aceleração); na prática de partículas aceleradas \mathfrak{F} é espaço.

Passo 5

Quarto resultado (d): ortogonalidade entre \mathcal{F} e \mathcal{V} e consequência P=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}.
  • Primeiro caminho (identidade de norma da quadrivelocidade): a quadrivelocidade satisfaz a identidade de normalização
    \boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{V}=c^{2},
    que é constante. Derivando em \tau:
    \frac{d}{d\tau}\big(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{V}\big)=2\,\boldsymbol{V}\cdot\frac{d\boldsymbol{V}}{d\tau}=0.
    Portanto
    \boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{U}=0.
    Multiplicando por m e lembrando \mathfrak{F}=m\boldsymbol{U} (Passo 3), obtemos
    \mathfrak{F}\cdot\boldsymbol{V}=0,
    isto é, \mathcal{F}\cdot\mathcal{V}=0. Isso prova a ortogonalidade pedida.
  • Segundo caminho (cálculo componente a componente e obtenção de P=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}):
    • Usando as formas \mathfrak{F}=\gamma\big[P/c,\mathbf{F}\big] (Passo 2) e \boldsymbol{V}=\gamma\big[c,\mathbf{v}\big], e adotando a convenção de produto escalar de Minkowski com sinal (+,-,-,-), o produto escalar é \mathfrak{F}\cdot\boldsymbol{V} =\gamma^{2}\bigg(\frac{P}{c}\cdot c \;-\;\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}\bigg) =\gamma^{2}\big(P-\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}\big).
    • Como do passo anterior \mathfrak{F}\cdot\boldsymbol{V}=0, segue \gamma^{2}\big(P-\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}\big)=0 \quad\Longrightarrow\quad P=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}.
    • Essa é a forma relativística do teorema potência-força; no limite não-relativístico ( \gamma\approx1) recuperamos a expressão clássica P=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}.
  • Comentário físico e motivador: a igualdade P=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v} diz que a taxa de variação da energia em t é a componente da força na direção do movimento — exatamente o que se espera intuitivamente e que é compatível com a relatividade, já que a potência é componente temporal da quadriforça projetada na quadrivelocidade.

Resposta

(a) \mathfrak{F}=\gamma\big[P/c,\mathbf{F}\big]
(b) \mathfrak{F}=m\boldsymbol{U}, com \boldsymbol{U}=d\boldsymbol{V}/d\tau
(c) \mathcal{F}\cdot\mathcal{P}=0 (logo \mathfrak{F} é tipo espaço)
(d) \mathcal{F}\cdot\mathcal{V}=0 e, a partir disso, P=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}

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