39) Quadriforça
A quadriforça é definida como
, sendo
o tempo próprio. Além disso, para o quadrimomento de uma partícula, temos as relações:
e
.
a) Mostre que a quadriforça pode ser escrita como
. Nessa expressão definimos a potência
e a força
da mesma maneira que na mecânica newtoniana.
b) Mostre que a quadriforça pode ser escrita como
, sendo
a quadriaceleração (probl. 37 e 38).
c) Mostre que
, isto é, esses quadrivetores são ortogonais. Como
é tipo tempo,
deverá ser tipo espaço.
d) Mostre que a quadrivelocidade
também é ortogonal à quadriforça, ou seja,
. A partir desse resultado mostre a conhecida expressão da mecânica:
.
a) Mostre que a quadriforça pode ser escrita como
b) Mostre que a quadriforça pode ser escrita como
c) Mostre que
d) Mostre que a quadrivelocidade
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
-
Dados (pego do enunciado):
- A quadriforça é
, com tempo próprio. - O quadrimomento é
. - Há a relação invariante (constante) do quadrimomento:
(o enunciado escreve uma forma equivalente). - Definições canônicas: potência
e força . - A quadrivelocidade é
, onde .
- A quadriforça é
-
O que é pedido:
(a) Mostrar que.
(b) Mostrar que, com .
(c) Mostrar que(ou seja, é ortogonal a ) e concluir que é tipo espaço.
(d) Mostrar que(ortogonalidade entre quadriforça e quadrivelocidade) e, a partir disso, obter .
Passo 2
Primeiro resultado (a): escrever
em termos de
e
.
-
Lembrete útil sobre derivadas por
e por : a relação entre tempo de referência e tempo próprio para a partícula é logo, aplicando cadeia,Aquié a usual . Isso é fundamental: derivar em equivale a multiplicar por a derivada em . -
Agora aplico essa regra à definição da quadriforça:
-
Derivando componente a componente em
obtemos que é exatamente o que se pedia mostrar. Aqui usei explicitamente quee .
Passo 3
Segundo resultado (b): escrever
como
.
- Parto da identidade dada
. Assumo que é a massa de repouso e é constante (hipótese padrão em partículas sem troca de massa). - Derivando em
obtemos - Definindo a quadriaceleração
, fica imediatamente que é a forma pedida. Observação: se a massa fosse variável (caso não usual aqui), haveria um termo extra; mas para massa de repouso constante a expressão acima é válida.
Passo 4
Terceiro resultado (c): mostrar
e interpretar tipo espaço.
-
Use a invariância do quadrimomento:
, quantidade constante ao longo da trajetória. (Essa é a norma do quadrimomento.) -
Derive ambos os lados em relação a
. Como o lado direito é constante, sua derivada é zero. Pela regra do produto das derivadas em produto escalar: -
Como
, segue Ou seja,: os dois quadrivetores são ortogonais. -
Interpretação de tipo:
é timelike (norma positiva com a convenção de métrica ). Um quadrivetor ortogonal a um vetor timelike não pode ser timelike (exceto o vetor nulo), portanto é do tipo espaço (ou possivelmente nulo se não houver aceleração); na prática de partículas aceleradas é espaço.
Passo 5
Quarto resultado (d): ortogonalidade entre
e
e consequência
.
-
Primeiro caminho (identidade de norma da quadrivelocidade): a quadrivelocidade satisfaz a identidade de normalizaçãoque é constante. Derivando em
: PortantoMultiplicando pore lembrando (Passo 3), obtemos isto é,. Isso prova a ortogonalidade pedida. -
Segundo caminho (cálculo componente a componente e obtenção de
): - Usando as formas
(Passo 2) e , e adotando a convenção de produto escalar de Minkowski com sinal , o produto escalar é - Como do passo anterior
, segue - Essa é a forma relativística do teorema potência-força; no limite não-relativístico (
) recuperamos a expressão clássica .
- Usando as formas
-
Comentário físico e motivador: a igualdade
diz que a taxa de variação da energia em é a componente da força na direção do movimento — exatamente o que se espera intuitivamente e que é compatível com a relatividade, já que a potência é componente temporal da quadriforça projetada na quadrivelocidade.
Resposta
(a)
(b)
, com
(c)
(logo
é tipo espaço)
(d)
e, a partir disso,