37) Quadriaceleração

A quadrivelocidade é definida como \boldsymbol{v} \equiv d \boldsymbol{R} / d \tau, onde \tau é o tempo próprio e \boldsymbol{R} \equiv[c t, x, y, z]. De maneira análoga, definamos a quadriaceleração como \boldsymbol{a} \equiv d \boldsymbol{V} / d \tau. Nesta questão considere apenas o movimento unidimensional ao longo do eixo x.
a) Verifique que d \gamma=\gamma^{3} \beta d \beta, sendo \beta \equiv V / c e \gamma \equiv\left(1-\beta^{2}\right)^{-1 / 2}.
b) Mostre que, para uma aceleração a \equiv d v / d t, ao longo do eixo x, a quadriaceleração pode ser escrita como \boldsymbol{a}=\gamma^{4}[\beta, 1,0,0] a.
c) Mostre que o quadrado da quadriaceleração é dado por \boldsymbol{a}^{2}=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a}=-\left(\gamma^{3} a\right)^{2}, indicando que se trata de um quadrivetor tipo espaço cuja norma invariante vale i g \equiv i \gamma^{3} a ( g é a aceleração própria).
d) Mostre que a quadriaceleração é ortogonal à quadrivelocidade, ou seja, \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{a}=0. Esse resultado continua válido mesmo que o movimento deixe de ser unidimensional. Além disso, como \boldsymbol{v} é tipo tempo, \boldsymbol{a}, sendo ortogonal, deverá ser tipo espaço.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas, em movimento unidimensional ao longo do eixo x. Vou listar claramente o que é pedido e os dados que temos:
  • Dados fornecidos:
    • A quadrivelocidade é definida por \boldsymbol{v}\equiv d\boldsymbol{R}/d\tau com \boldsymbol{R}\equiv[c t, x, y, z].
    • \beta\equiv V/c (a velocidade espacial normalizada) e \gamma\equiv(1-\beta^{2})^{-1/2}.
    • A aceleração usual (derivada em relação ao tempo coordenado t) é a\equiv dv/dt.
    • Considerar movimento somente ao longo de x (ou seja v_y=v_z=0).
  • Perguntas:
    (a) Verificar que d\gamma=\gamma^{3}\beta\,d\beta.
    (b) Mostrar que, para aceleração a\equiv dv/dt ao longo de x, a quadriaceleração escreve-se \boldsymbol{a}=\gamma^{4}[\beta,1,0,0]\,a.
    (c) Mostrar que o quadrado da quadriaceleração é \boldsymbol{a}^{2}=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}=-\bigl(\gamma^{3}a\bigr)^{2} e que a norma invariante pode ser escrita como i g \equiv i \gamma^{3} a (com g a aceleração própria).
    (d) Mostrar que \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{a}=0; comentar que isso vale em geral (não só 1D) e que, como \boldsymbol{v} é tipo tempo, \boldsymbol{a} é tipo espaço.
A partir daqui passamos a resolver cada item passo a passo, explicando fórmulas e cada manipulação.

Passo 2

(a) Derivando \gamma em relação a \beta — explicando o que fazemos e por que.
  • Definição: \displaystyle \gamma(\beta)=\bigl(1-\beta^{2}\bigr)^{-1/2}. Aqui \beta é a variável; \gamma depende de \beta.
  • Queremos d\gamma em função de d\beta. Usamos a regra da cadeia (derivada de função composta).
Calcule a derivada d\gamma/d\beta:
\gamma(\beta)=(1-\beta^{2})^{-1/2}.
Aplicando a derivada usando a regra da potência e da cadeia:
\frac{d\gamma}{d\beta} = -\frac{1}{2}(1-\beta^{2})^{-3/2}\cdot(-2\beta).
Aqui:
  • o fator -\tfrac{1}{2} vem de derivar (\cdot)^{-1/2},
  • o -2\beta vem de derivar 1-\beta^{2} em relação a \beta.
Simplificando os sinais e fatores:
\frac{d\gamma}{d\beta} = \beta(1-\beta^{2})^{-3/2}.
Mas (1-\beta^{2})^{-3/2}=\gamma^{3}, porque \gamma=(1-\beta^{2})^{-1/2} e elevando ao cubo obtemos \gamma^{3}=(1-\beta^{2})^{-3/2}. Portanto
\frac{d\gamma}{d\beta}=\gamma^{3}\beta.
Multiplicando ambos os lados por d\beta obtemos a forma diferencial pedida:
d\gamma=\gamma^{3}\beta\,d\beta.
Isto mostra (a). Intuição rápida: quando a velocidade se aproxima de c ( \beta\to1), \gamma cresce rapidamente e a derivada fica grande; a presença de \gamma^{3} captura essa sensibilidade fortíssima perto de \beta\approx1.

Passo 3

Preparação para (b): relação entre derivadas em \tau e em t, e expressão da quadrivelocidade em 1D.
  • Lembrete útil: o tempo próprio \tau e o tempo coordenado t estão relacionados por d\tau = dt/\gamma. Assim, para qualquer função F de t,
\frac{dF}{d\tau}=\gamma\frac{dF}{dt}.
Isto vale porque d/d\tau = (dt/d\tau)\,d/dt = \gamma\,d/dt.
  • A quadrivelocidade (quatre-velocity) em componentes, com movimento só em x, é
\boldsymbol{v} = \frac{d\boldsymbol{R}}{d\tau} = \bigl[\gamma c,\; \gamma v,\;0,\;0\bigr].
Explico cada componente:
  • componente temporal: v^{0}=\gamma c (unidade de velocidade-tempo),
  • componente espacial em x: v^{1}=\gamma v, onde v é a velocidade usual dx/dt.
  • Também usamos \beta=v/c quando for conveniente.

Passo 4

(b) Cálculo explícito da quadriaceleração \boldsymbol{a}=d\boldsymbol{v}/d\tau em 1D, componente a componente.
Usamos d/d\tau=\gamma d/dt e que a\equiv dv/dt.
  • Componente temporal:
a^{0}=\frac{d v^{0}}{d\tau}=\frac{d(\gamma c)}{d\tau}=\gamma\frac{d(\gamma c)}{dt}=\gamma c\frac{d\gamma}{dt}.
Agora usamos a relação da Passo 2 para d\gamma/dt: primeiro d\gamma/dt=(d\gamma/d\beta)(d\beta/dt). Como \beta=v/c,
\frac{d\beta}{dt}=\frac{1}{c}\frac{dv}{dt}=\frac{a}{c}.
Pelo Passo 2 temos d\gamma/d\beta=\gamma^{3}\beta. Logo
\frac{d\gamma}{dt}=\gamma^{3}\beta\frac{a}{c}.
Substituindo em a^{0}:
a^{0}=\gamma c\cdot\gamma^{3}\beta\frac{a}{c}=\gamma^{4}\beta\,a.
  • Componente espacial em x:
a^{1}=\frac{d v^{1}}{d\tau}=\frac{d(\gamma v)}{d\tau}=\gamma\frac{d(\gamma v)}{dt}.
Expandindo a derivada em t:
\frac{d(\gamma v)}{dt}=\gamma\frac{dv}{dt}+v\frac{d\gamma}{dt}=\gamma a + v\frac{d\gamma}{dt}.
Multiplicando por \gamma:
a^{1}=\gamma^{2}a + \gamma v\frac{d\gamma}{dt}.
Novamente substituímos \dfrac{d\gamma}{dt}=\gamma^{3}\beta\frac{a}{c} e v=\beta c. Então
\gamma v\frac{d\gamma}{dt}=\gamma(\beta c)\cdot\gamma^{3}\beta\frac{a}{c}=\gamma^{4}\beta^{2}a.
Portanto
a^{1}=\gamma^{2}a+\gamma^{4}\beta^{2}a.
Agora fatoramos \gamma^{2}a:
a^{1}=\gamma^{2}a\bigl(1+\gamma^{2}\beta^{2}\bigr).
Usamos que 1+\gamma^{2}\beta^{2}=\gamma^{2} porque \gamma^{2}=(1-\beta^{2})^{-1}, então
1+\gamma^{2}\beta^{2}=\frac{1-\beta^{2}+\beta^{2}}{1-\beta^{2}}=\frac{1}{1-\beta^{2}}=\gamma^{2}.
Logo
a^{1}=\gamma^{2}a\cdot\gamma^{2}=\gamma^{4}a.
  • Componentes y,z são nulas: a^{2}=a^{3}=0.
Juntando tudo temos o vetor quadriaceleração (componentes contravariantes):
\boldsymbol{a}=\bigl[a^{0},a^{1},0,0\bigr]=\gamma^{4}\bigl[\beta,\,1,\,0,\,0\bigr]\,a.
Isto é exatamente o que se pedia no item (b).

Passo 5

(c) Calcular o quadrado (produto interno Minkowski) \boldsymbol{a}^{2}=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a} e interpretar o sinal.
  • Para assinatura padrão (+,-,-,-) o produto é
\boldsymbol{a}^{2}= (a^{0})^{2} - (a^{1})^{2} - (a^{2})^{2} - (a^{3})^{2}.
Aqui só há componentes 0 e 1. Substituindo a^{0}=\gamma^{4}\beta a e a^{1}=\gamma^{4}a:
\boldsymbol{a}^{2} = \gamma^{8}\beta^{2}a^{2}-\gamma^{8}a^{2}=\gamma^{8}a^{2}(\beta^{2}-1).
Como \beta^{2}-1=-(1-\beta^{2}) e 1-\beta^{2}=1/\gamma^{2}, obtemos
\boldsymbol{a}^{2} = -\gamma^{8}a^{2}\frac{1}{\gamma^{2}} = -\gamma^{6}a^{2}.
Escrevendo \gamma^{6}a^{2}=(\gamma^{3}a)^{2} resulta
\boldsymbol{a}^{2} = -\bigl(\gamma^{3}a\bigr)^{2}.
Portanto o quadrado é negativo, o que caracteriza \boldsymbol{a} como um quadrivetor do tipo espaço (norma quadrática negativa na convenção (+,-,-,-)).
  • A norma invariante (magnitude espacial invariante) pode ser tomada como \sqrt{-\boldsymbol{a}^{2}}=\gamma^{3}a. O enunciado escreve a norma invariante como i g \equiv i\gamma^{3}a indicando que a componente “tem um fator imaginário” se alguém quiser associar um módulo escalar complexo; mais diretamente, a aceleração própria (módulo invariante) é
g=\gamma^{3}a.
Ou seja, \sqrt{-\boldsymbol{a}^{2}}=g=\gamma^{3}a.

Passo 6

(d) Mostrar que \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{a}=0 em 1D diretamente e depois dar uma prova geral.
  • Cálculo direto em 1D usando as componentes já obtidas:
\boldsymbol{v}=\bigl[\gamma c,\;\gamma v,\;0,\;0\bigr]=\gamma\bigl[c,\;v,\;0,\;0\bigr], \qquad \boldsymbol{a}=\gamma^{4}\bigl[\beta a,\;a,\;0,\;0\bigr].
O produto escalar (assinatura (+,-,-,-)) é
\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{a}=v^{0}a^{0}-v^{1}a^{1} = (\gamma c)(\gamma^{4}\beta a) - (\gamma v)(\gamma^{4}a).
Colocando \beta=v/c no primeiro termo:
\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{a}=\gamma^{5}c\beta a - \gamma^{5}v a = \gamma^{5}\beta c a - \gamma^{5}v a.
Como v=\beta c os termos se cancelam e obtemos
\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{a}=0.
  • Prova geral (válida para movimento em qualquer direção):
    • Observação: a quadrivelocidade satisfaz a identidade invariante
    \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v}=c^{2}\quad\text{(constante ao longo da trajetória).}ó
    • Diferenciando em relação ao tempo próprio \tau:
    \frac{d}{d\tau}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v})=2\,\boldsymbol{v}\cdot\frac{d\boldsymbol{v}}{d\tau} =2\,\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{a}.O lado esquerdo é zero porque \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v}=c^{2} é constante. Portanto \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{a}=0.
    • Conclusão: a ortogonalidade vale sempre, não só em 1D. Como \boldsymbol{v} é tipo tempo (produto positivo com ele mesmo), qualquer vetor ortogonal a um vetor tipo tempo é necessariamente tipo espaço — por isso \boldsymbol{a} é tipo espaço.

Passo 7

Comentário final, incentivo e dica prática para prova.
  • Resumindo: o cálculo do item (b) usa duas ideias simples que são sempre úteis em relatividade:
    1. relacionar derivadas em \tau e em t por d/d\tau=\gamma d/dt;
    2. usar a expressão de \gamma e sua derivada em relação a \beta, que cresce como \gamma^{3}\beta.
  • Dica rápida para a prova: memorize a identidade d\gamma/d\beta=\gamma^{3}\beta (item (a)) e a relação geral v\cdot a=0 proveniente de v\cdot v=\text{const}. Com essas duas peças, o resto é algebra direta.
  • Força aí — você já tem os passos fundamentais; praticando um ou dois exemplos numéricos (por ex. escolha \beta=0{,}6 e a=1 na unidade conveniente) verá como \gamma e \gamma^{3} amplificam a aceleração própria.

Resposta

(a) d\gamma=\gamma^{3}\beta\,d\beta
(b) \boldsymbol{a}=\gamma^{4}\bigl[\beta,\,1,\,0,\,0\bigr]\,a
(c) \boldsymbol{a}^{2}=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}=-\bigl(\gamma^{3}a\bigr)^{2} (norma invariante \sqrt{-\boldsymbol{a}^{2}}=g=\gamma^{3}a; enunciado escreve i g\equiv i\gamma^{3}a)
(d) \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{a}=0

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