37) Quadriaceleração
A quadrivelocidade é definida como
, onde
é o tempo próprio e
. De maneira análoga, definamos a quadriaceleração como
. Nesta questão considere apenas o movimento unidimensional ao longo do eixo
.
a) Verifique que
, sendo
e
.
b) Mostre que, para uma aceleração
, ao longo do eixo
, a quadriaceleração pode ser escrita como
.
c) Mostre que o quadrado da quadriaceleração é dado por
, indicando que se trata de um quadrivetor tipo espaço cuja norma invariante vale
(
é a aceleração própria).
d) Mostre que a quadriaceleração é ortogonal à quadrivelocidade, ou seja,
. Esse resultado continua válido mesmo que o movimento deixe de ser unidimensional. Além disso, como
é tipo tempo,
, sendo ortogonal, deverá ser tipo espaço.
a) Verifique que
b) Mostre que, para uma aceleração
c) Mostre que o quadrado da quadriaceleração é dado por
d) Mostre que a quadriaceleração é ortogonal à quadrivelocidade, ou seja,
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas, em movimento unidimensional ao longo do eixo
. Vou listar claramente o que é pedido e os dados que temos:
-
Dados fornecidos:
- A quadrivelocidade é definida por
com . -
(a velocidade espacial normalizada) e . - A aceleração usual (derivada em relação ao tempo coordenado
) é . - Considerar movimento somente ao longo de
(ou seja ).
- A quadrivelocidade é definida por
-
Perguntas:
(a) Verificar que.
(b) Mostrar que, para aceleraçãoao longo de , a quadriaceleração escreve-se .
(c) Mostrar que o quadrado da quadriaceleração ée que a norma invariante pode ser escrita como (com a aceleração própria).
(d) Mostrar que; comentar que isso vale em geral (não só 1D) e que, como é tipo tempo, é tipo espaço.
A partir daqui passamos a resolver cada item passo a passo, explicando fórmulas e cada manipulação.
Passo 2
(a) Derivando
em relação a
— explicando o que fazemos e por que.
- Definição:
. Aqui é a variável; depende de . - Queremos
em função de . Usamos a regra da cadeia (derivada de função composta).
Calcule a derivada
:
Aplicando a derivada usando a regra da potência e da cadeia:
Aqui:
- o fator
vem de derivar , - o
vem de derivar em relação a .
Simplificando os sinais e fatores:
Mas
, porque
e elevando ao cubo obtemos
. Portanto
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a forma diferencial pedida:
Isto mostra (a). Intuição rápida: quando a velocidade se aproxima de
(
),
cresce rapidamente e a derivada fica grande; a presença de
captura essa sensibilidade fortíssima perto de
.
Passo 3
Preparação para (b): relação entre derivadas em
e em
, e expressão da quadrivelocidade em 1D.
- Lembrete útil: o tempo próprio
e o tempo coordenado estão relacionados por . Assim, para qualquer função de ,
Isto vale porque
.
- A quadrivelocidade (quatre-velocity) em componentes, com movimento só em
, é
Explico cada componente:
- componente temporal:
(unidade de velocidade-tempo), - componente espacial em
: , onde é a velocidade usual . - Também usamos
quando for conveniente.
Passo 4
(b) Cálculo explícito da quadriaceleração
em 1D, componente a componente.
Usamos
e que
.
- Componente temporal:
Agora usamos a relação da Passo 2 para
: primeiro
. Como
,
Pelo Passo 2 temos
. Logo
Substituindo em
:
- Componente espacial em
:
Expandindo a derivada em
:
Multiplicando por
:
Novamente substituímos
e
. Então
Portanto
Agora fatoramos
:
Usamos que
porque
, então
Logo
- Componentes
são nulas: .
Juntando tudo temos o vetor quadriaceleração (componentes contravariantes):
Isto é exatamente o que se pedia no item (b).
Passo 5
(c) Calcular o quadrado (produto interno Minkowski)
e interpretar o sinal.
- Para assinatura padrão
o produto é
Aqui só há componentes
e
. Substituindo
e
:
Como
e
, obtemos
Escrevendo
resulta
Portanto o quadrado é negativo, o que caracteriza
como um quadrivetor do tipo espaço (norma quadrática negativa na convenção
).
- A norma invariante (magnitude espacial invariante) pode ser tomada como
. O enunciado escreve a norma invariante como indicando que a componente “tem um fator imaginário” se alguém quiser associar um módulo escalar complexo; mais diretamente, a aceleração própria (módulo invariante) é
Ou seja,
.
Passo 6
(d) Mostrar que
em 1D diretamente e depois dar uma prova geral.
- Cálculo direto em 1D usando as componentes já obtidas:
O produto escalar (assinatura
) é
Colocando
no primeiro termo:
Como
os termos se cancelam e obtemos
- Prova geral (válida para movimento em qualquer direção):
- Observação: a quadrivelocidade satisfaz a identidade invariante
- Diferenciando em relação ao tempo próprio
:
O lado esquerdo é zero porque é constante. Portanto . - Conclusão: a ortogonalidade vale sempre, não só em 1D. Como
é tipo tempo (produto positivo com ele mesmo), qualquer vetor ortogonal a um vetor tipo tempo é necessariamente tipo espaço — por isso é tipo espaço.
Passo 7
Comentário final, incentivo e dica prática para prova.
- Resumindo: o cálculo do item (b) usa duas ideias simples que são sempre úteis em relatividade:
- relacionar derivadas em
e em por ; - usar a expressão de
e sua derivada em relação a , que cresce como .
- relacionar derivadas em
- Dica rápida para a prova: memorize a identidade
(item (a)) e a relação geral proveniente de . Com essas duas peças, o resto é algebra direta. - Força aí — você já tem os passos fundamentais; praticando um ou dois exemplos numéricos (por ex. escolha
e na unidade conveniente) verá como e amplificam a aceleração própria.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(norma invariante
; enunciado escreve
)
(d)